ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}x<0\\ y>-\frac{1}{2}\end{array}$$$$$$

в)

$$\begin{cases} x > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y > \frac{1}{2} \end{cases}$$

г)

$$\{\begin{array}{l}x<\frac{1}{2}\\ y<\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$$$\mathrm{}$$

а)

$$\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$$

Дуга ограничена точками:

$$M_1(0; -1) = M_1\left(\frac{3\pi}{2}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(1; 0) = M_2(0);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < 2\pi n.$$

б)

$$\begin{cases} x < 0 \\ y > -\frac{1}{2} \end{cases}$$

Дуга ограничена точками:

$$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{7\pi}{6}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

в)

$$\begin{cases} x > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y > \frac{1}{2} \end{cases}$$

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{6}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{3\pi}{4}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

г)

$$\begin{cases} x < \frac{1}{2} \\ y < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$$

Дуга ограничена точками:

$$M_1\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{2\pi}{3}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{6}\right);$$

Ответ:

$$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Числовая окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Углы на числовой окружности измеряются от положительного направления оси абсцисс. Точки на окружности определяются с помощью тригонометрических функций: $x = \cos t$ и $y = \sin t$.

Периодичность числовой окружности означает, что углы с шагом $2\pi$ будут давать эквивалентные решения. Мы будем учитывать это при нахождении интервалов для $t$.

а) $\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$

Шаг 1: Понимание условия.

Условие $x > 0$ означает, что точка лежит в правой половине окружности — в первой и четвертой четвертях, где абсцисса $x$ положительна.

Условие $y < 0$ означает, что точка лежит ниже оси абсцисс, то есть в третьей и четвертой четвертях.

Совмещение этих двух условий даёт, что точка находится в IV четверти числовой окружности, где $x > 0$ и $y < 0$.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1(0; -1)$ соответствует углу $t_1 = \frac{3\pi}{2}$, точка лежит на оси $Oy$ в IV четверти.
• $M_2(1; 0)$ соответствует углу $t_2 = 0$, точка лежит на оси $Ox$.

Шаг 3: Интервал углов.

Интервал углов, где точка находится в IV четверти, будет от $t = -\frac{\pi}{2}$ до $t = 2\pi$, с учетом периодичности:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < 2\pi n$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность углов.

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < 2\pi n$$

б) $\begin{cases} x < 0 \\ y > -\frac{1}{2} \end{cases}$

Шаг 1: Понимание условия.

Условие $x < 0$ означает, что точка лежит в левой половине окружности, то есть во второй и третьей четвертях.

Условие $y > -\frac{1}{2}$ накладывает ограничение на ординату, говорящую, что точка лежит выше прямой $y = -\frac{1}{2}$. Это условие ограничивает нас верхней частью второй и третьей четвертей, исключая нижнюю часть третьей четверти.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1(0; 1)$ соответствует углу $t_1 = \frac{\pi}{2}$.
• $M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t_2 = \frac{7\pi}{6}$.

Шаг 3: Интервал углов.

Интервал углов для этого условия находится между углом $t = \frac{\pi}{2}$ и $t = \frac{7\pi}{6}$, с учетом периодичности:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

в) $\begin{cases} x > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y > \frac{1}{2} \end{cases}$

Шаг 1: Понимание условия.

Условие $x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ накладывает ограничение на абсциссу, исключая область вокруг третьей четверти, где $x$ меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Условие $y > \frac{1}{2}$ означает, что точка лежит выше прямой $y = \frac{1}{2}$, то есть в верхней части первой и второй четвертей.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t_1 = \frac{\pi}{6}$.
• $M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ соответствует углу $t_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Шаг 3: Интервал углов.

Интервал углов для этого условия будет между углом $t = \frac{\pi}{6}$ и $t = \frac{3\pi}{4}$, с учетом периодичности:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

г) $\begin{cases} x < \frac{1}{2} \\ y < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Шаг 1: Понимание условия.

Условие $x < \frac{1}{2}$ означает, что точка находится в левой части окружности, во второй или третьей четверти.

Условие $y < \frac{\sqrt{3}}{2}$ накладывает ограничение на ординату, то есть точка должна находиться ниже линии $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это ограничивает нас второй и третьей четвертями, исключая верхнюю часть второй четверти.

Шаг 2: Подходящие точки.

• $M_1\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $t_1 = \frac{2\pi}{3}$.
• $M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t_2 = \frac{5\pi}{6}$.

Шаг 3: Интервал углов.

Интервал углов для этого условия будет между углами $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = \frac{5\pi}{6}$, с учетом периодичности:

$$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$

б) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

в) $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

г) $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$