ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $4x^2 — 1 \leq 0$;

б) $1 — 2y^2 < 0$;

в) $3 — 4y^2 > 0$;

г) $2x^2 — 1 \geq 0$

а) $4x^2 — 1 \leq 0$;
$(2x + 1)(2x — 1) \leq 0$;
$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$;

Первая дуга ограничена точками:
$M_1 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)$;
$M_2 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right)$;

Соответствующие числа:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t_1 \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;
$\frac{\pi}{3} + \pi(2n) \leq t_1 \leq \frac{2\pi}{3} + \pi(2n)$;

Вторая дуга ограничена точками:
$M_1 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{4\pi}{3} \right)$;
$M_2 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right)$;

Соответствующие числа:
$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq t_2 \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$;
$\frac{\pi}{3} + \pi(2n + 1) \leq t_2 \leq \frac{2\pi}{3} + \pi(2n + 1)$;

Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi k \leq t \leq \frac{2\pi}{3} + \pi k$.

б) $1 — 2y^2 < 0$;
$(1 + \sqrt{2}y)(1 — \sqrt{2}y) < 0$;
$(1 + \sqrt{2}y)(\sqrt{2}y — 1) > 0$;
$y > \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Первая дуга ограничена точками:
$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right)$;
$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right)$;

Соответствующие числа:
$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;
$\frac{\pi}{4} + \pi(2n) < t_1 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n)$;

Вторая дуга ограничена точками:
$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right)$;
$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right)$;

Соответствующие числа:
$\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t_2 < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$;
$\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1) < t_2 < \frac{3\pi}{4} + \pi(2n + 1)$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

в) $3 — 4y^2 > 0$;
$(\sqrt{3} + 2y)(\sqrt{3} — 2y) > 0$;
$(\sqrt{3} + 2y)(2y — \sqrt{3}) < 0$;
$-\frac{\sqrt{3}}{2} < y < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Первая дуга ограничена точками:
$M_1 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{3} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{3} \right)$;
$M_2 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{\pi}{3} \right)$;

Соответствующие числа:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t_1 < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
$-\frac{\pi}{3} + \pi(2n) < t_1 < \frac{\pi}{3} + \pi(2n)$;

Вторая дуга ограничена точками:
$M_1 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{2\pi}{3} \right)$;
$M_2 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{4\pi}{3} \right)$;

Соответствующие числа:
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t_2 < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$;
$-\frac{\pi}{3} + \pi(2n + 1) < t_2 < \frac{\pi}{3} + \pi(2n + 1)$;

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + \pi k < t < \frac{\pi}{3} + \pi k$.

г) $2x^2 — 1 \geq 0$;
$(\sqrt{2}x + 1)(\sqrt{2}x — 1) \geq 0$;
$x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Первая дуга ограничена точками:
$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{4} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{4} \right)$;
$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$;

Соответствующие числа:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq t_1 \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
$-\frac{\pi}{4} + \pi(2n) \leq t_1 \leq \frac{\pi}{4} + \pi(2n)$;

Вторая дуга ограничена точками:
$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{3\pi}{4} \right)$;
$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{4} \right)$;

Соответствующие числа:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t_2 \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$;
$-\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1) \leq t_2 \leq \frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1)$;

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k \leq t \leq \frac{\pi}{4} + \pi k$.

а) $4x^2 — 1 \leq 0$

Решение неравенства:

$$4x^2 — 1 \leq 0$$

Приведем это неравенство к стандартному виду:

$$4x^2 \leq 1$$

Разделим обе части на 4:

$$x^2 \leq \frac{1}{4}$$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$$

Это решение определяет промежуток, на котором функция $4x^2 — 1$ не превосходит нуля. Таким образом, для $x$ из этого промежутка $4x^2 — 1 \leq 0$.

Тот же результат в виде произведения:

Разложим левую часть исходного выражения на множители:

$$4x^2 — 1 = (2x + 1)(2x — 1)$$

Теперь неравенство примет вид:

$$(2x + 1)(2x — 1) \leq 0$$

Для того, чтобы произведение двух множителей было неотрицательным, один из множителей должен быть меньше или равен нулю, а другой — больше или равен нулю. Поэтому рассмотрим знаки выражений $(2x + 1)$ и $(2x — 1)$:

• $2x + 1 = 0$ при $x = -\frac{1}{2}$
• $2x — 1 = 0$ при $x = \frac{1}{2}$

Таким образом, неравенство $(2x + 1)(2x — 1) \leq 0$ выполняется при $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$.

Это подтверждает, что промежуток решения остается тем же: $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$.

1) Первая дуга ограничена точками:

Мы видим, что на интервале $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ имеют место два критических значения, которые мы можем обозначить как точки $M_1$ и $M_2$:

$M_1 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)$

$M_2 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right)$

Эти точки определяют границы первой дуги. Таким образом, первая дуга ограничена точками $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

2) Соответствующие числа:

Для первой дуги у нас есть интервал, на котором $t$ может варьироваться. Мы можем выразить этот интервал в виде:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq t_1 \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Также можно выразить через множители $n$, где $n$ — целое число.

3) Вторая дуга ограничена точками:

Вторая дуга ограничена другими точками, которые можно обозначить как $M_1$ и $M_2$:

$M_1 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{4\pi}{3} \right)$

$M_2 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right)$

Это точные значения, которые ограничивают вторую дугу.

4) Соответствующие числа:

Для второй дуги, аналогично первой, получаем:

$$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq t_2 \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

Здесь также добавлены множители $n$.

Ответ:

Объединив оба промежутка, мы получаем окончательное решение:

$$\frac{\pi}{3} + \pi k \leq t \leq \frac{2\pi}{3} + \pi k$$

б) $1 — 2y^2 < 0$

Решение неравенства:

$$1 — 2y^2 < 0$$

Переводим неравенство:

$$2y^2 > 1$$

Разделим обе части на 2:

$$y^2 > \frac{1}{2}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$y > \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом, решение этого неравенства представляет собой два промежутка: $y > \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $y < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1) Первая дуга ограничена точками:

Теперь рассмотрим точки, которые ограничивают первую дугу:

$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right)$

$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right)$

Это два значения, которые ограничивают первую дугу.

2) Соответствующие числа:

Для первой дуги получаем интервал:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

3) Вторая дуга ограничена точками:

Вторая дуга ограничена другими точками:

$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right)$

$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right)$

4) Соответствующие числа:

Для второй дуги получаем интервал:

$$\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t_2 < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ:

Объединив оба промежутка, получаем окончательное решение:

$$\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \frac{3\pi}{4} + \pi k$$

в) $3 — 4y^2 > 0$

Решение неравенства:

$$3 — 4y^2 > 0$$

Переводим неравенство:

$$4y^2 < 3$$

Разделим обе части на 4:

$$y^2 < \frac{3}{4}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} < y < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, решение этого неравенства представляет собой интервал:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} < y < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

1) Первая дуга ограничена точками:

Рассмотрим точки, которые ограничивают первую дугу:

$M_1 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{3} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{3} \right)$

$M_2 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{\pi}{3} \right)$

Это две точки, которые ограничивают первую дугу.

2) Соответствующие числа:

Для первой дуги получаем интервал:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t_1 < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Здесь $n$ — целое число, так как это периодическое явление.

3) Вторая дуга ограничена точками:

Вторая дуга ограничена другими точками:

$M_1 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{2\pi}{3} \right)$

$M_2 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{4\pi}{3} \right)$

4) Соответствующие числа:

Для второй дуги получаем интервал:

$$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t_2 < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$$

Также добавляется множитель $n$ для учета периодичности.

Ответ:

Объединив оба промежутка, получаем окончательное решение:

$$-\frac{\pi}{3} + \pi k < t < \frac{\pi}{3} + \pi k$$

г) $2x^2 — 1 \geq 0$

Решение неравенства:

$$2x^2 — 1 \geq 0$$

Переводим неравенство:

$$2x^2 \geq 1$$

Разделим обе части на 2:

$$x^2 \geq \frac{1}{2}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$x \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом, решение этого неравенства представляет собой два промежутка: $x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1) Первая дуга ограничена точками:

Рассмотрим точки, которые ограничивают первую дугу:

$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{4} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{4} \right)$

$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$

2) Соответствующие числа:

Для первой дуги получаем интервал:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq t_1 \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

3) Вторая дуга ограничена точками:

Вторая дуга ограничена другими точками:

$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{3\pi}{4} \right)$

$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{4} \right)$

4) Соответствующие числа:

Для второй дуги получаем интервал:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t_2 \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ:

Объединив оба промежутка, получаем окончательное решение:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi k \leq t \leq \frac{\pi}{4} + \pi k$$

Ответы для всех пунктов:

а) $\frac{\pi}{3} + \pi k \leq t \leq \frac{2\pi}{3} + \pi k$

б) $\frac{\pi}{4} + \pi k < t < \frac{3\pi}{4} + \pi k$

в) $-\frac{\pi}{3} + \pi k < t < \frac{\pi}{3} + \pi k$

г) $-\frac{\pi}{4} + \pi k \leq t \leq \frac{\pi}{4} + \pi k$