ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $M\left(-\frac{41\pi}{6}\right) = M\left(8\pi — \frac{41\pi}{6}\right) = M\left(\frac{7\pi}{6}\right) = M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right);$

б) $M(117\pi) = M(\pi + 116\pi) = M(\pi) = M(-1; 0);$

в) $M\left(-\frac{13\pi}{3}\right) = M\left(6\pi — \frac{13\pi}{3}\right) = M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $M(126\pi) = M(0 + 126\pi) = M(0) = M(1; 0);$

В задаче предполагается использование табличных данных, приведенных в соответствующем параграфе учебника;

а) $M\left(-\frac{41\pi}{6}\right) = M\left(8\pi — \frac{41\pi}{6}\right) = M\left(\frac{7\pi}{6}\right) = M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right);$

б) $M(117\pi) = M(\pi + 116\pi) = M(\pi) = M(-1; 0);$

в) $M\left(-\frac{13\pi}{3}\right) = M\left(6\pi — \frac{13\pi}{3}\right) = M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $M(126\pi) = M(0 + 126\pi) = M(0) = M(1; 0);$

Общие замечания:

• Вся задача основана на работе с углами в радианах и нахождении их значений с использованием свойств единичной окружности.
• Мы будем использовать таблицу значений косинуса и синуса для стандартных углов, а также для углов, которые могут быть больше $2\pi$ или меньше $0$, используя периодичность тригонометрических функций.
• Напоминаем, что функция $M(\alpha)$ отображает угол $\alpha$ на его координаты вектора на единичной окружности:

  $$M(\alpha) = (\cos(\alpha), \sin(\alpha))$$

а) $M\left(-\frac{41\pi}{6}\right) = M\left(8\pi — \frac{41\pi}{6}\right) = M\left(\frac{7\pi}{6}\right) = M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$

Первоначальный угол: $-\frac{41\pi}{6}$

• Нам нужно привести этот угол в пределах от $0$ до $2\pi$. Период тригонометрических функций $\sin(x)$ и $\cos(x)$ равен $2\pi$, так что мы будем добавлять $2\pi$, пока угол не попадет в нужный интервал.

Преобразование угла:

$$-\frac{41\pi}{6} + 8\pi = -\frac{41\pi}{6} + \frac{48\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$

Мы добавили $8\pi$ (то есть два полных оборота), чтобы угол оказался в пределах от $0$ до $2\pi$.

Нахождение координат:
Угол $\frac{7\pi}{6}$ — это угла в третьем квадранте. Для стандартных углов на единичной окружности значение синуса и косинуса при $\frac{7\pi}{6}$ будет:

• $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

Ответ:
Таким образом, $M\left(-\frac{41\pi}{6}\right) = M\left(\frac{7\pi}{6}\right) = M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$.

б) $M(117\pi) = M(\pi + 116\pi) = M(\pi) = M(-1; 0)$

Первоначальный угол: $117\pi$

• Угол $117\pi$ — это угол, который намного больше $2\pi$. Нам нужно привести его к эквивалентному углу в пределах одного полного оборота.

Преобразование угла:
Период тригонометрических функций равен $2\pi$, следовательно, $117\pi$ можно записать как:

$$117\pi = 58 \times 2\pi + \pi$$

Поскольку $58 \times 2\pi$ — это целое количество полных оборотов, мы можем отбросить его и оставить угол $\pi$.

Нахождение координат:
Угол $\pi$ соответствует точке на единичной окружности, где:

• $\cos(\pi) = -1$
• $\sin(\pi) = 0$

Ответ:
Таким образом, $M(117\pi) = M(\pi) = M(-1; 0)$.

в) $M\left(-\frac{13\pi}{3}\right) = M\left(6\pi — \frac{13\pi}{3}\right) = M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Первоначальный угол: $-\frac{13\pi}{3}$

• Угол $-\frac{13\pi}{3}$ является отрицательным, и его нужно привести в интервал от $0$ до $2\pi$.

Преобразование угла:
Добавляем $6\pi$ (что эквивалентно полному обороту), чтобы привести угол в нужный интервал:

$$-\frac{13\pi}{3} + 6\pi = -\frac{13\pi}{3} + \frac{18\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$$

Нахождение координат:
Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертом квадранте, и для него:

• $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
• $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:
Таким образом, $M\left(-\frac{13\pi}{3}\right) = M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

г) $M(126\pi) = M(0 + 126\pi) = M(0) = M(1; 0)$

Первоначальный угол: $126\pi$

• Период тригонометрических функций $2\pi$, и нам нужно привести угол $126\pi$ к эквивалентному углу в интервале от $0$ до $2\pi$.

Преобразование угла:
Поскольку $126\pi = 63 \times 2\pi$, угол $126\pi$ является целым числом оборотов, и, следовательно, эквивалентен углу $0$.

Нахождение координат:
Для угла $0$ на единичной окружности:

• $\cos(0) = 1$
• $\sin(0) = 0$

Ответ:
Таким образом, $M(126\pi) = M(0) = M(1; 0)$.

Итоговый ответ:

а) $M\left(-\frac{41\pi}{6}\right) = M\left(\frac{7\pi}{6}\right) = M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$

б) $M(117\pi) = M(\pi) = M(-1; 0)$

в) $M\left(-\frac{13\pi}{3}\right) = M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

г) $M(126\pi) = M(0) = M(1; 0)$