ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка:

а) $M(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2});$

б) $M(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2});$

в) $M(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2});$

г) $M(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$$$$$

а) $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right);$

Все числа на окружности:

$$M\left(\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{\pi}{6}\right) = M\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right);$$ $$t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Наименьшее положительное число:

$$t_1 = \frac{\pi}{6};$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t_2 = \frac{\pi}{6} — 2\pi = \frac{\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; -\frac{11\pi}{6}$.

б) $M\left(\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

Все числа на окружности:

$$M\left(\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M\left(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n\right);$$ $$t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$

Наименьшее положительное число:

$$t_1 = \frac{5\pi}{3};$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t_2 = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = \frac{5\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{5\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}$.

в) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right);$

Все числа на окружности:

$$M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{5\pi}{6}\right) = M\left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right);$$ $$t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$

Наименьшее положительное число:

$$t_1 = \frac{5\pi}{6};$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t_2 = \frac{5\pi}{6} — 2\pi = \frac{5\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{5\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}$.

г) $M\left(-\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

Все числа на окружности:

$$M\left(-\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{4\pi}{3}\right) = M\left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n\right);$$ $$t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n;$$

Наименьшее положительное число:

$$t_1 = \frac{4\pi}{3};$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t_2 = \frac{4\pi}{3} — 2\pi = \frac{4\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3}$.

а) $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right);$

Все числа на окружности:

Точка $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right)$ представляет собой координаты на единичной окружности. Чтобы найти все углы, которые соответствуют этой точке, нам нужно воспользоваться определением координат на окружности, где:

• $x = \cos t$,
• $y = \sin t$.

У нас есть точка с координатами $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$, то есть:

• $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
• $\sin t = \frac{1}{2}$.

Известно, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Таким образом, точка $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{\pi}{6}$.

Поскольку углы на окружности повторяются через $2\pi$, то все возможные углы, которые могут дать такие координаты, это:

$$t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Наименьшее положительное число:

Для нахождения наименьшего положительного угла просто выбираем $n = 0$ в выражении:

$$t_1 = \frac{\pi}{6}.$$

Это наименьший положительный угол, который соответствует данной точке.

Наибольшее отрицательное число:

Чтобы найти наибольшее отрицательное число, нужно найти такой угол, который будет меньше нуля, но как можно ближе к нулю. Для этого нам нужно взять наибольшее целое значение $n$, которое при подстановке в выражение $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ дает отрицательный угол. Для этого выберем $n = -2$:

$$t_2 = \frac{\pi}{6} — 2\pi = \frac{\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}.$$

Это наибольшее отрицательное число.

Ответ: $\frac{\pi}{6}; -\frac{11\pi}{6}$.

б) $M\left(\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

Все числа на окружности:

В этой задаче точка $M\left(\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ имеет координаты:

• $x = \frac{1}{2}$,
• $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Известно, что:

• $\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$,
• $\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, точка $M\left(\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{5\pi}{3}$.

Чтобы учесть все возможные углы, мы снова используем периодичность углов на окружности и получаем:

$$t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Наименьшее положительное число:

Для наименьшего положительного угла подставим $n = 0$:

$$t_1 = \frac{5\pi}{3}.$$

Это наименьший положительный угол.

Наибольшее отрицательное число:

Для наибольшего отрицательного числа подставим $n = -1$:

$$t_2 = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = \frac{5\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}.$$

Это наибольшее отрицательное число.

Ответ: $\frac{5\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}$.

в) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right);$

Все числа на окружности:

В этой задаче точка $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right)$ имеет координаты:

• $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,
• $y = \frac{1}{2}$.

Известно, что:

• $\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,
• $\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, точка $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{5\pi}{6}$.

Все возможные углы:

$$t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Наименьшее положительное число:

Для наименьшего положительного угла подставим $n = 0$:

$$t_1 = \frac{5\pi}{6}.$$

Это наименьший положительный угол.

Наибольшее отрицательное число:

Для наибольшего отрицательного числа подставим $n = -2$:

$$t_2 = \frac{5\pi}{6} — 2\pi = \frac{5\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}.$$

Это наибольшее отрицательное число.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}$.

г) $M\left(-\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

Все числа на окружности:

Точка $M\left(-\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ имеет координаты:

• $x = -\frac{1}{2}$,
• $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Известно, что:

• $\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,
• $\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, точка $M\left(-\frac{1}{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $t = \frac{4\pi}{3}$.

Все возможные углы:

$$t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Наименьшее положительное число:

Для наименьшего положительного угла подставим $n = 0$:

$$t_1 = \frac{4\pi}{3}.$$

Это наименьший положительный угол.

Наибольшее отрицательное число:

Для наибольшего отрицательного числа подставим $n = -1$:

$$t_2 = \frac{4\pi}{3} — 2\pi = \frac{4\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}.$$

Это наибольшее отрицательное число.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}; -\frac{2\pi}{3}$.