ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Каким числам из заданного отрезка соответствует точка $M \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ числовой окружности:

а) $[-4\pi; \pi]$;

б) $\left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right]$;

в) $[0; 5\pi]$;

г) $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$?

Каким числам из заданного отрезка соответствует точка $M \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ числовой окружности;

Все значения числа:
$M \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M \left( \frac{3\pi}{4} \right) = M \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \right);$
$t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$

а) $[-4\pi; \pi]$;
$t(-2) = \frac{3\pi}{4} — 4\pi = -\frac{13\pi}{4};$
$t(-1) = \frac{3\pi}{4} — 2\pi = -\frac{5\pi}{4};$
$t(0) = \frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4};$
Ответ: $-\frac{13\pi}{4}; -\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}$.

б) $\left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right] \Rightarrow [-1,5\pi; 3,5\pi]$;
$t(-1) = \frac{3\pi}{4} — 2\pi = -\frac{5\pi}{4};$
$t(0) = \frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4};$
$t(1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4};$
Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}$.

в) $[0; 5\pi]$;
$t(0) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4};$
$t(1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4};$
$t(2) = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4};$
Ответ: $\frac{3\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}; \frac{19\pi}{4}$.

г) $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right] \Rightarrow [0,5\pi; 4,5\pi]$;
$t(0) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4};$
$t(1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4};$
Ответ: $\frac{3\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}$.

Задано, что точка $M \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ лежит на числовой окружности. Нужно найти все такие значения угла $t$, которые соответствуют этой точке на числовой окружности в пределах различных заданных интервалов. Начнем с того, что рассмотрим, как записано решение.

Шаг 1: Общее выражение для углов, соответствующих точке $M$

Из условия задачи мы знаем, что точка на числовой окружности, которая имеет координаты $\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$, соответствует углу $\frac{3\pi}{4}$. Но так как окружность имеет период $2\pi$, то все возможные углы, соответствующие этой точке, могут быть записаны в виде:

$$t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — это целое число. Это общее выражение для всех углов, которые будут лежать на числовой окружности в точке $M \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

Теперь нужно для каждого интервала вычислить такие значения угла $t$, которые находятся в заданном промежутке.

Шаг 2: Рассмотрение интервалов

а) Интервал $[-4\pi; \pi]$

Для того чтобы найти все значения угла $t$, которые соответствуют точке на окружности в данном интервале, подставляем в выражение для $t$ целые значения $n$, так чтобы результат лежал в пределах $[-4\pi; \pi]$.

Для $n = -2$:

$$t(-2) = \frac{3\pi}{4} — 4\pi = \frac{3\pi}{4} — \frac{16\pi}{4} = -\frac{13\pi}{4}$$

Это значение лежит в пределах интервала $[-4\pi; \pi]$, так как $-\frac{13\pi}{4} \approx -10.21$, что действительно больше $-4\pi \approx -12.57$ и меньше $\pi \approx 3.14$.

Для $n = -1$:

$$t(-1) = \frac{3\pi}{4} — 2\pi = \frac{3\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$$

Это значение тоже лежит в пределах интервала $[-4\pi; \pi]$, так как $-\frac{5\pi}{4} \approx -3.93$, что больше $-4\pi \approx -12.57$ и меньше $\pi \approx 3.14$.

Для $n = 0$:

$$t(0) = \frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4}$$

Это значение также лежит в пределах интервала $[-4\pi; \pi]$, так как $\frac{3\pi}{4} \approx 2.36$, что больше $-4\pi \approx -12.57$ и меньше $\pi \approx 3.14$.

Ответ для интервала $[-4\pi; \pi]$:

$$t(-2) = -\frac{13\pi}{4}, \quad t(-1) = -\frac{5\pi}{4}, \quad t(0) = \frac{3\pi}{4}$$

б) Интервал $\left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right]$

Теперь нужно найти все значения угла $t$ в пределах интервала $\left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right]$. Для этого подставляем различные значения $n$, так чтобы результат лежал в пределах данного интервала.

Для $n = -1$:

$$t(-1) = \frac{3\pi}{4} — 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Это значение лежит в пределах интервала $\left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right]$, так как $-\frac{5\pi}{4} \approx -3.93$, что больше $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$ и меньше $\frac{7\pi}{2} \approx 10.99$.

Для $n = 0$:

$$t(0) = \frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4}$$

Это значение лежит в пределах интервала $\left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right]$, так как $\frac{3\pi}{4} \approx 2.36$, что больше $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$ и меньше $\frac{7\pi}{2} \approx 10.99$.

Для $n = 1$:

$$t(1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$$

Это значение также лежит в пределах интервала $\left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right]$, так как $\frac{11\pi}{4} \approx 8.64$, что больше $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$ и меньше $\frac{7\pi}{2} \approx 10.99$.

Ответ для интервала $\left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right]$:

$$t(-1) = -\frac{5\pi}{4}, \quad t(0) = \frac{3\pi}{4}, \quad t(1) = \frac{11\pi}{4}$$

в) Интервал $[0; 5\pi]$

Теперь нужно найти все значения угла $t$ в пределах интервала $[0; 5\pi]$. Поступаем аналогично, подставляя значения $n$.

Для $n = 0$:

$$t(0) = \frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4}$$

Это значение лежит в пределах интервала $[0; 5\pi]$, так как $\frac{3\pi}{4} \approx 2.36$, что больше $0$ и меньше $5\pi \approx 15.71$.

Для $n = 1$:

$$t(1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$$

Это значение также лежит в пределах интервала $[0; 5\pi]$, так как $\frac{11\pi}{4} \approx 8.64$, что больше $0$ и меньше $5\pi \approx 15.71$.

Для $n = 2$:

$$t(2) = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$$

Это значение также лежит в пределах интервала $[0; 5\pi]$, так как $\frac{19\pi}{4} \approx 14.93$, что больше $0$ и меньше $5\pi \approx 15.71$.

Ответ для интервала $[0; 5\pi]$:

$$t(0) = \frac{3\pi}{4}, \quad t(1) = \frac{11\pi}{4}, \quad t(2) = \frac{19\pi}{4}$$

г) Интервал $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$

Теперь нужно найти все значения угла $t$ в пределах интервала $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$. Подставляем значения $n$.

Для $n = 0$:

$$t(0) = \frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4}$$

Это значение лежит в пределах интервала $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$, так как $\frac{3\pi}{4} \approx 2.36$, что больше $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и меньше $\frac{9\pi}{2} \approx 14.14$.

Для $n = 1$:

$$t(1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$$

Это значение также лежит в пределах интервала $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$, так как $\frac{11\pi}{4} \approx 8.64$, что больше $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и меньше $\frac{9\pi}{2} \approx 14.14$.

Ответ для интервала $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$:

$$t(0) = \frac{3\pi}{4}, \quad t(1) = \frac{11\pi}{4}$$

Итоговые ответы

• Для интервала $[-4\pi; \pi]$:

$$t(-2) = -\frac{13\pi}{4}, \quad t(-1) = -\frac{5\pi}{4}, \quad t(0) = \frac{3\pi}{4}$$

• Для интервала $\left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right]$:

  $$t(-1) = -\frac{5\pi}{4}, \quad t(0) = \frac{3\pi}{4}, \quad t(1) = \frac{11\pi}{4}$$

• Для интервала $[0; 5\pi]$:

  $$t(0) = \frac{3\pi}{4}, \quad t(1) = \frac{11\pi}{4}, \quad t(2) = \frac{19\pi}{4}$$

• Для интервала $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$:

  $$t(0) = \frac{3\pi}{4}, \quad t(1) = \frac{11\pi}{4}$$