ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На отрезке $\left[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}\right]$ укажите числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка:

а) $M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

б) $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

в) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right);$

г) $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

На отрезке $\left[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}\right]$ указать числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка;

Границы отрезка:

$$\left[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}\right] \Rightarrow [-0,375\pi; 2,8(3)\pi];$$

а) $M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right);$

$$t(0) = \frac{\pi}{3} + 0 = \frac{\pi}{3};$$ $$t(1) = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}$.

б) $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right);$

$$t(0) = \frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4};$$ $$t(1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4};$$

Ответ: $\frac{3\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}$.

в) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{7\pi}{6}\right) = M\left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right);$

$$t(0) = \frac{7\pi}{6} + 0 = \frac{7\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$.

г) $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M\left(\frac{7\pi}{4}\right) = M\left(\frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right);$

$$t(-1) = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = -\frac{\pi}{4};$$ $$t(0) = \frac{7\pi}{4} + 0 = \frac{7\pi}{4};$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$.

На отрезке $\left[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}\right]$ указать числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка.

Границы отрезка:

Давай сначала преобразуем границы отрезка в десятичную форму, чтобы иметь представление о диапазоне значений.

1. Левая граница:

   $$-\frac{3\pi}{8} \approx -0.375\pi$$

   Таким образом, это будет примерно $-1.178$ радиана (если взять $\pi \approx 3.1416$).

2. Правая граница:

   $$\frac{17\pi}{6} \approx 2.8(3)\pi$$

   Это примерно равно $8.881$ радиан (если $\pi \approx 3.1416$).

Итак, отрезок $\left[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}\right]$ можно интерпретировать как $[-1.178; 8.881]$ радиан.

Теперь давай перейдем к каждому пункту задания.

а) $M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M\left(\frac{\pi}{3}\right) = M\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right)$

Шаг 1: Описание точки на окружности.

Точка с координатами $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $\frac{\pi}{3}$, так как на единичной окружности синус этого угла равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а косинус — $\frac{1}{2}$. Таким образом, $M\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ соответствует углу $\frac{\pi}{3}$.

Шаг 2: Общее выражение угла.

Для всех углов, которые соответствуют данной точке, общее выражение имеет вид:

$$t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

где $n$ — целое число, показывающее количество полных оборотов (по часовой стрелке или против).

Шаг 3: Проверка попадания в отрезок.

Теперь найдем все такие углы $t$, которые попадают в отрезок $\left[-\frac{3\pi}{8}; \frac{17\pi}{6}\right]$:

• Для $n = 0$:

  $$t(0) = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \text{ радиана}.$$

  Это значение лежит в пределах отрезка, так как $-1.178 \leq 1.047 \leq 8.881$.

• Для $n = 1$:

  $$t(1) = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + 6.2832 \approx 7.330 \text{ радиана}.$$

  Это значение также лежит в пределах отрезка.

• Для $n = -1$:

  $$t(-1) = \frac{\pi}{3} — 2\pi = \frac{\pi}{3} — 6.2832 \approx -5.236 \text{ радиана}.$$

  Это значение выходит за пределы отрезка.

Ответ: Углы, соответствующие заданной точке на отрезке, — $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{7\pi}{3}$.

б) $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4}\right) = M\left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi n\right)$

Шаг 1: Описание точки на окружности.

Точка $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ соответствует углу $\frac{3\pi}{4}$, так как на единичной окружности синус этого угла равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, а косинус — $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2: Общее выражение угла.

Для всех углов, которые соответствуют данной точке, общее выражение угла:

$$t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Проверка попадания в отрезок.

• Для $n = 0$:

  $$t(0) = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356 \text{ радиана}.$$

  Это значение лежит в пределах отрезка.

• Для $n = 1$:

  $$t(1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4} + 6.2832 \approx 8.639 \text{ радиана}.$$

  Это значение также лежит в пределах отрезка.

• Для $n = -1$:

  $$t(-1) = \frac{3\pi}{4} — 2\pi = \frac{3\pi}{4} — 6.2832 \approx -3.927 \text{ радиана}.$$

  Это значение выходит за пределы отрезка.

Ответ: Углы, соответствующие заданной точке на отрезке, — $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{11\pi}{4}$.

в) $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M\left(\frac{7\pi}{6}\right) = M\left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right)$

Шаг 1: Описание точки на окружности.

Точка $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ соответствует углу $\frac{7\pi}{6}$, так как синус этого угла равен $-\frac{1}{2}$, а косинус — $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2: Общее выражение угла.

Для всех углов, которые соответствуют данной точке, общее выражение угла:

$$t = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Проверка попадания в отрезок.

• Для $n = 0$:

  $$t(0) = \frac{7\pi}{6} \approx 3.665 \text{ радиана}.$$

  Это значение лежит в пределах отрезка.

• Для $n = 1$:

  $$t(1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} + 6.2832 \approx 9.849 \text{ радиана}.$$

  Это значение выходит за пределы отрезка.

Ответ: Углы, соответствующие заданной точке на отрезке, — только $\frac{7\pi}{6}$.

г) $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M\left(\frac{7\pi}{4}\right) = M\left(\frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right)$

Шаг 1: Описание точки на окружности.

Точка $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ соответствует углу $\frac{7\pi}{4}$, так как на единичной окружности синус этого угла равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, а косинус — $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 2: Общее выражение угла.

Для всех углов, которые соответствуют данной точке, общее выражение угла:

$$t = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Проверка попадания в отрезок.

• Для $n = -1$:

  $$t(-1) = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = \frac{7\pi}{4} — 6.2832 \approx -0.785 \text{ радиана}.$$

  Это значение лежит в пределах отрезка.

• Для $n = 0$:

  $$t(0) = \frac{7\pi}{4} \approx 5.498 \text{ радиана}.$$

  Это значение также лежит в пределах отрезка.

• Для $n = 1$:

  $$t(1) = \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} + 6.2832 \approx 11.748 \text{ радиана}.$$

  Это значение выходит за пределы отрезка.

Ответ: Углы, соответствующие заданной точке на отрезке, — $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$.

Итоговые ответы:

1. $\frac{\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}$
2. $\frac{3\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}$
3. $\frac{7\pi}{6}$
4. $-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$