ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 12.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $E(12)$

б) $K(-15)$

в) $P(49)$

г) $M(100)$

Указать знаки абсциссы и ординаты заданной точки числовой окружности;

а) $E(12)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$2\pi \approx 6,28;$$ $$a = 12 — 6,28 = 5,72;$$ $$\frac{3\pi}{4} \approx 4,71;$$ $$\frac{3\pi}{4} < a < 2\pi;$$

Точка $E$ принадлежит IV четверти;

Ответ: $x > 0$; $y < 0$.

б) $K(-15)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$6\pi \approx 18,84;$$ $$a = 18,84 — 15 = 3,84;$$ $$\frac{3\pi}{4} \approx 4,71;$$ $$\pi < a < \frac{3\pi}{4};$$

Точка $K$ принадлежит III четверти;

Ответ: $x < 0$; $y < 0$.

в) $P(49)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$14\pi \approx 18,84;$$ $$a = 49 — 43,96 = 5,04;$$ $$\frac{3\pi}{4} \approx 4,71;$$ $$2\pi \approx 6,28;$$ $$\frac{3\pi}{4} < a < 2\pi;$$

Точка $P$ принадлежит IV четверти;

Ответ: $x > 0$; $y < 0$.

г) $M(100)$;

$$\pi \approx 3,14;$$ $$30\pi \approx 94,2;$$ $$a = 100 — 94,2 = 5,8;$$ $$\frac{3\pi}{4} \approx 4,71;$$ $$2\pi \approx 6,28;$$ $$\frac{3\pi}{4} < a < 2\pi;$$

Точка $M$ принадлежит IV четверти;

Ответ: $x > 0$; $y < 0$.

Числовая окружность — это окружность радиусом 1, расположенная на плоскости с центром в начале координат. Углы на числовой окружности измеряются от положительного направления оси абсцисс (основного направления) в сторону против часовой стрелки. Каждому углу на окружности соответствует точка, чьи координаты можно выразить как $(\cos \theta, \sin \theta)$, где $\theta$ — это угол.

Знаки абсциссы и ординаты зависят от того, в какой четверти находится эта точка. Важно помнить:

• I четверть: $x > 0, y > 0$
• II четверть: $x < 0, y > 0$
• III четверть: $x < 0, y < 0$
• IV четверть: $x > 0, y < 0$

Теперь давайте рассмотрим каждый пункт задачи и шаг за шагом найдем знак абсциссы и ординаты для каждой точки.

а) $E(12)$

Шаг 1: Определение координат точки $E(12)$.

Точка $E$ имеет угол $12$ радиан. Нам нужно понять, в какой четверти находится эта точка, и определить, какой знак будет у абсциссы и ординаты.

Шаг 2: Приведение угла в интервал от $0$ до $2\pi$.

Мы знаем, что $2\pi \approx 6,28$, поэтому нужно уменьшить угол $12$ радиан на несколько полных оборотов (по $2\pi$), чтобы привести его в интервал от $0$ до $2\pi$.

$$a = 12 — 6,28 = 5,72$$

Теперь угол $5,72$ радиан — это угол, который соответствует точке на окружности.

Шаг 3: Определение четверти.

Мы знаем, что:

$$\frac{3\pi}{4} \approx 4,71 \quad \text{и} \quad 2\pi \approx 6,28$$

Проверим, где лежит угол $5,72$:

$$\frac{3\pi}{4} < 5,72 < 2\pi$$

Этот угол лежит в IV четверти.

Шаг 4: Определение знаков абсциссы и ординаты.

• В IV четверти абсцисса положительная ($x > 0$), а ордината отрицательная ($y < 0$).

Ответ: $x > 0$; $y < 0$.

б) $K(-15)$

Шаг 1: Определение координат точки $K(-15)$.

Точка $K$ имеет угол $-15$ радиан. Чтобы определить, в какой четверти находится эта точка, нам нужно сначала привести угол в интервал от $0$ до $2\pi$.

Шаг 2: Приведение угла в интервал от $0$ до $2\pi$.

Мы знаем, что:

$$6\pi \approx 18,84$$

Теперь уменьшите угол $-15$ радиан на несколько полных оборотов, добавив $6\pi$ радиан:

$$a = 18,84 — 15 = 3,84$$

Шаг 3: Определение четверти.

Теперь проверим, в какой четверти находится угол $3,84$. Мы знаем, что:

$$\pi \approx 3,14 \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{4} \approx 4,71$$

Проверим, где лежит угол $3,84$:

$$\pi < 3,84 < \frac{3\pi}{4}$$

Этот угол лежит в III четверти.

Шаг 4: Определение знаков абсциссы и ординаты.

• В III четверти абсцисса отрицательная ($x < 0$) и ордината отрицательная ($y < 0$).

Ответ: $x < 0$; $y < 0$.

в) $P(49)$

Шаг 1: Определение координат точки $P(49)$.

Точка $P$ имеет угол $49$ радиан. Чтобы понять, в какой четверти находится эта точка, приведем угол в интервал от $0$ до $2\pi$.

Шаг 2: Приведение угла в интервал от $0$ до $2\pi$.

Мы знаем, что:

$$14\pi \approx 43,96$$

Теперь уменьшаем угол $49$ радиан на несколько полных оборотов:

$$a = 49 — 43,96 = 5,04$$

Шаг 3: Определение четверти.

Теперь проверим, в какой четверти находится угол $5,04$. Мы знаем, что:

$$\frac{3\pi}{4} \approx 4,71 \quad \text{и} \quad 2\pi \approx 6,28$$

Проверим, где лежит угол $5,04$:

$$\frac{3\pi}{4} < 5,04 < 2\pi$$

Этот угол лежит в IV четверти.

Шаг 4: Определение знаков абсциссы и ординаты.

• В IV четверти абсцисса положительная ($x > 0$) и ордината отрицательная ($y < 0$).

Ответ: $x > 0$; $y < 0$.

г) $M(100)$

Шаг 1: Определение координат точки $M(100)$.

Точка $M$ имеет угол $100$ радиан. Чтобы найти, в какой четверти находится эта точка, давайте приведем угол в интервал от $0$ до $2\pi$.

Шаг 2: Приведение угла в интервал от $0$ до $2\pi$.

Мы знаем, что:

$$30\pi \approx 94,2$$

Теперь уменьшаем угол $100$ радиан:

$$a = 100 — 94,2 = 5,8$$

Шаг 3: Определение четверти.

Теперь проверим, в какой четверти находится угол $5,8$. Мы знаем, что:

$$\frac{3\pi}{4} \approx 4,71 \quad \text{и} \quad 2\pi \approx 6,28$$

Проверим, где лежит угол $5,8$:

$$\frac{3\pi}{4} < 5,8 < 2\pi$$

Этот угол лежит в IV четверти.

Шаг 4: Определение знаков абсциссы и ординаты.

• В IV четверти абсцисса положительная ($x > 0$) и ордината отрицательная ($y < 0$).

Ответ: $x > 0$; $y < 0$.

Итоговые ответы:

а) $x > 0$; $y < 0$

б) $x < 0$; $y < 0$

в) $x > 0$; $y < 0$

г) $x > 0$; $y < 0$