ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 120 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Между числами 7 и 448 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.

Пусть $(b_n)$ искомая геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, тогда имеем последовательность: $7; b_2; 448$.

1. Значения известных членов прогрессии:
   $b_1 = 7 \quad \text{и} \quad b_3 = 448;$
2. Знаменатель геометрической прогрессии:
   $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2};$
   $b_2 \cdot b_2 = b_3 \cdot b_1;$
   $b_2^2 = b_3 \cdot b_1;$
   $b_2 = \sqrt{b_3 \cdot b_1};$
3. Значение второго члена прогрессии:
   $b_2 = \sqrt{448 \cdot 7} = \sqrt{3136} = 56;$

Ответ: $7; 56; 448$.

Основные моменты:

• Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый элемент, начиная с первого, получается умножением предыдущего на постоянный множитель, называемый знаменателем прогрессии $q$.
• Следовательно, для геометрической прогрессии выполняются следующие отношения:

  $$b_2 = b_1 \cdot q \quad \text{и} \quad b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2$$

Нам нужно найти $b_2$, используя известные значения $b_1 = 7$ и $b_3 = 448$.

Шаг 1: Используем формулу для $b_3$.

Из свойств геометрической прогрессии известно, что:

$$b_3 = b_1 \cdot q^2$$

Подставим известные значения:

$$448 = 7 \cdot q^2$$

Шаг 2: Решим это уравнение для $q^2$.

Для того чтобы найти $q^2$, разделим обе стороны уравнения на 7:

$$q^2 = \frac{448}{7} = 64$$

Шаг 3: Найдем значение $q$.

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$q = \sqrt{64} = 8$$

Теперь мы знаем, что знаменатель прогрессии $q = 8$.

Шаг 4: Найдем $b_2$.

Так как $b_2 = b_1 \cdot q$, подставим $b_1 = 7$ и $q = 8$:

$$b_2 = 7 \cdot 8 = 56$$

Ответ:

Таким образом, последовательность членов геометрической прогрессии, где $b_1 = 7$, $b_2 = 56$, и $b_3 = 448$, выглядит следующим образом:

$$7; 56; 448$$

Итог:

1. Мы нашли знаменатель прогрессии $q = 8$, который удовлетворяет условию задачи.
2. Подставив это значение в формулы, мы вычислили второй элемент прогрессии $b_2 = 56$.
3. Полученная последовательность — это геометрическая прогрессия с членами $7; 56; 448$.