ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак числа:

а) $\sin \frac{4\pi}{7}$;

б) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right) = \cos \frac{5\pi}{7}$;

в) $\sin \frac{9\pi}{8}$;

г) $\sin (-\frac{3\pi }{8})$

Определить знак числа:

а) $\sin \frac{4\pi}{7}$;

$$\frac{\pi}{2} < a < \pi;$$

Точка $a$ располагается во II четверти:

$$x < 0 \text{ и } y > 0;$$

Ответ: плюс.

б) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right) = \cos \frac{5\pi}{7}$;

$$\frac{\pi}{2} < a < \pi;$$

Точка $a$ располагается во II четверти:

$$x < 0 \text{ и } y > 0;$$

Ответ: минус.

в) $\sin \frac{9\pi}{8}$;

$$\pi < a < \frac{3\pi}{2};$$

Точка $a$ располагается в III четверти:

$$x < 0 \text{ и } y < 0;$$

Ответ: минус.

г) $\sin \left(-\frac{3\pi}{8}\right) = \sin \left(-\frac{3\pi}{8} + 2\pi\right) = \sin \frac{13\pi}{8}$;

$$\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi;$$

Точка $a$ располагается в IV четверти:

$$x > 0 \text{ и } y < 0;$$

Ответ: минус.

а) $\sin \frac{4\pi}{7}$

Шаг 1: Определяем, в какой четверти находится угол

Данный угол $\frac{4\pi}{7}$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < a < \pi$. Для этого нужно понять, насколько этот угол больше $\frac{\pi}{2}$ и меньше ли он $\pi$:

• $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$
• $\pi \approx 3.1416$

Преобразуем $\frac{4\pi}{7}$ в десятичную форму:

$$\frac{4\pi}{7} \approx 1.795 \quad \text{(это больше чем \( \frac{\pi}{2} \), но меньше чем \( \pi \))}$$

Таким образом, угол $\frac{4\pi}{7}$ действительно лежит во втором квадранте.

Шаг 2: Определяем знак функции

Синус положителен в первом и втором квадрантах. Поскольку угол $\frac{4\pi}{7}$ находится во втором квадранте, то $\sin \frac{4\pi}{7}$ будет положительным.

Ответ:

$$\text{плюс}$$

б) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right) = \cos \frac{5\pi}{7}$

Шаг 1: Определяем, в какой четверти находится угол

Для угла $-\frac{5\pi}{7}$, чтобы определить, в какой он четверти, нужно учесть, что $\cos(-x) = \cos(x)$. То есть, угол $-\frac{5\pi}{7}$ эквивалентен углу $\frac{5\pi}{7}$, так как косинус является четной функцией.

Теперь рассмотрим угол $\frac{5\pi}{7}$. Переведем его в десятичную форму:

$$\frac{5\pi}{7} \approx 2.243 \quad \text{(это больше чем \( \frac{\pi}{2} \), но меньше чем \( \pi \))}$$

Таким образом, угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во втором квадранте.

Шаг 2: Определяем знак функции

Косинус отрицателен во втором и третьем квадрантах. Поскольку угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во втором квадранте, то $\cos \frac{5\pi}{7}$ будет отрицательным.

Ответ:

$$\text{минус}$$

в) $\sin \frac{9\pi}{8}$

Шаг 1: Определяем, в какой четверти находится угол

Преобразуем $\frac{9\pi}{8}$ в десятичную форму:

$$\frac{9\pi}{8} \approx 3.534 \quad \text{(это больше чем \( \pi \), но меньше чем \( \frac{3\pi}{2} \))}$$

Таким образом, угол $\frac{9\pi}{8}$ находится в третьем квадранте, где синус отрицателен.

Шаг 2: Определяем знак функции

Синус отрицателен в третьем и четвертом квадрантах. Поскольку угол $\frac{9\pi}{8}$ находится в третьем квадранте, то $\sin \frac{9\pi}{8}$ будет отрицательным.

Ответ:

$$\text{минус}$$

г) $\sin \left(-\frac{3\pi}{8}\right) = \sin \left(-\frac{3\pi}{8} + 2\pi\right) = \sin \frac{13\pi}{8}$

Шаг 1: Определяем, в какой четверти находится угол

Для угла $-\frac{3\pi}{8}$, чтобы понять, в какой он четверти, нужно учесть, что добавление $2\pi$ к углу возвращает его в эквивалентную позицию на окружности. Таким образом, мы можем работать с углом $\frac{13\pi}{8}$, так как $\sin(-x) = \sin(x)$.

Преобразуем $\frac{13\pi}{8}$ в десятичную форму:

$$\frac{13\pi}{8} \approx 5.098 \quad \text{(это больше чем \( \frac{3\pi}{2} \), но меньше чем \( 2\pi \))}$$

Таким образом, угол $\frac{13\pi}{8}$ находится в четвертом квадранте.

Шаг 2: Определяем знак функции

Синус отрицателен в третьем и четвертом квадрантах. Поскольку угол $\frac{13\pi}{8}$ находится в четвертом квадранте, то $\sin \frac{13\pi}{8}$ будет отрицательным.

Ответ:

$$\text{минус}$$

Итоговые ответы:

а) $\text{плюс}$
б) $\text{минус}$
в) $\text{минус}$
г) $\text{минус}$