ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\sin t = -\frac{1}{2}$;

в) $\cos t = -\frac{1}{2}$;

г) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

а) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

б) $\sin t = -\frac{1}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{11\pi}{6} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{7\pi}{6} + 2n$; $t_2 = \frac{11\pi}{6} + 2n$.

в) $\cos t = -\frac{1}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{2\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{4\pi}{3} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} — 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

а) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Определение точек на единичной окружности

Значение $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ встречается в следующих точках:

• $M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — эта точка соответствует углу $\frac{\pi}{4}$ (первый квадрант).
• $M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — эта точка соответствует углу $\frac{7\pi}{4}$ (четвертый квадрант).

Шаг 2: Выводим общее решение

• Первый угол: $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, так как косинус имеет периодичность $2\pi$, и это значение повторяется через каждый полный оборот.
• Второй угол: $t_2 = \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Ответ:

$$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

б) $\sin t = -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Определение точек на единичной окружности

Значение $\sin t = -\frac{1}{2}$ встречается в следующих точках:

• $M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right)$ — эта точка соответствует углу $\frac{7\pi}{6}$ (третий квадрант).
• $M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right)$ — эта точка соответствует углу $\frac{11\pi}{6}$ (четвертый квадрант).

Шаг 2: Выводим общее решение

• Первый угол: $t_1 = \frac{7\pi}{6} + 2n$, так как синус имеет периодичность $2\pi$.
• Второй угол: $t_2 = \frac{11\pi}{6} + 2n$, так как также учитываем периодичность $2\pi$.

Ответ:

$$t_1 = \frac{7\pi}{6} + 2n, \quad t_2 = \frac{11\pi}{6} + 2n$$

в) $\cos t = -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Определение точек на единичной окружности

Значение $\cos t = -\frac{1}{2}$ встречается в следующих точках:

• $M_1 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ — эта точка соответствует углу $\frac{2\pi}{3}$ (второй квадрант).
• $M_2 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ — эта точка соответствует углу $\frac{4\pi}{3}$ (третий квадрант).

Шаг 2: Выводим общее решение

• Первый угол: $t_1 = \frac{2\pi}{3} + 2n$, так как косинус имеет периодичность $2\pi$.
• Второй угол: $t_2 = \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} — 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, так как учитываем периодичность $2\pi$.

Ответ:

$$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

г) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Определение точек на единичной окружности

Значение $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ встречается в следующих точках:

• $M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — эта точка соответствует углу $\frac{\pi}{4}$ (первый квадрант).
• $M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ — эта точка соответствует углу $\frac{3\pi}{4}$ (второй квадрант).

Шаг 2: Выводим общее решение

• Первый угол: $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, так как синус имеет периодичность $2\pi$.
• Второй угол: $t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, так как также учитываем периодичность $2\pi$.

Ответ:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
б) $t_1 = \frac{7\pi}{6} + 2n, \quad t_2 = \frac{11\pi}{6} + 2n$
в) $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
г) $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$