ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\cos t = \sqrt{3};$

в) $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

г) $\sin t=-\frac{\pi }{3};$

а) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Подходящие точки:
$M_1 \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{4\pi}{3} \right);$
$M_2 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{3} \right);$
Ответ: $t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n; \quad t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$

б) $\cos t = \sqrt{3};$
$3 > 1;$
$\sqrt{3} > 1;$
Ответ: корней нет.

в) $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

Подходящие точки:
$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{6} \right);$
$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$

Соответствующие числа:
$t_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$
$t_2 = \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} — 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$
Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$

г) $\sin t = -\frac{\pi}{3};$
$\pi > 3;$
$-\pi < -3;$
$-\frac{\pi}{3} < -1;$
Ответ: корней нет.

а) $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Определение точки на круге
Мы ищем такие углы $t$, для которых значение синуса равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Сначала давайте вспомним основные значения синуса на единичной окружности.

Из таблицы значений синуса знаем, что:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Поскольку $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то эти углы должны быть расположены в тех частях окружности, где синус принимает отрицательные значения. Это возможно в третий и четвёртый квадранты, где синус отрицателен.

Поиск углов

• В третий квадрант угол $t$ будет равен:

  $$t_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

• В четвёртый квадрант угол $t$ будет равен:

  $$t_2 = 2\pi — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$$

Общий вид решения
Поскольку синус имеет период $2\pi$, то общее решение будет:

$$t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ — целое число.

Ответ: $t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n; \quad t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $\cos t = \sqrt{3}$

Определение точки на круге
Мы ищем такие углы $t$, для которых значение косинуса равно $\sqrt{3}$. Сначала давайте вспомним основные значения косинуса на единичной окружности.

Из таблицы значений косинуса знаем, что:

$$\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Однако, здесь косинус равен не $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\sqrt{3}$, что больше 1.

Анализ невозможности решения
Косинус на единичной окружности принимает значения только в интервале от $-1$ до $1$, то есть невозможно, чтобы $\cos t = \sqrt{3}$, так как $\sqrt{3} > 1$.

Ответ: корней нет.

в) $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Определение точки на круге
Мы ищем такие углы $t$, для которых значение косинуса равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы значений косинуса на единичной окружности мы знаем, что:

$$\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Поскольку $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то эти углы будут расположены в втором и третьем квадрантах, где косинус принимает отрицательные значения.

Поиск углов

• В втором квадранте угол $t$ будет равен:

  $$t_1 = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

• В третьем квадранте угол $t$ будет равен:

  $$t_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$

  Однако, так как мы ищем все решения, можем выразить $t_2$ в более удобной форме:

  $$t_2 = \frac{7\pi}{6} — 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

  (где $n$ — целое число).

Общий вид решения
Период косинуса равен $2\pi$, поэтому общее решение будет:

$$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $\sin t = -\frac{\pi}{3}$

Определение точки на круге
Мы ищем такие углы $t$, для которых значение синуса равно $-\frac{\pi}{3}$. Однако, нужно отметить, что синус на единичной окружности принимает значения только в интервале от $-1$ до $1$. Таким образом, значение $-\frac{\pi}{3}$ выходит за этот диапазон.

Анализ невозможности решения
Поскольку $-\frac{\pi}{3}$ меньше $-1$, это значение невозможно для синуса, так как синус не может принимать такие значения на единичной окружности.

Ответ: корней нет.

Итог:

а) $t_1 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, $t_2 = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$,

б) корней нет,

в) $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$,

г) корней нет.