ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $10 \sin t = \sqrt{75}$;

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$;

в) $8 \cos t — \sqrt{32} = 0$;

г) $8\cos t=-\sqrt{48}$

а) $10 \sin t = \sqrt{75}$;

$$\sin t = \frac{\sqrt{75}}{10} = \frac{\sqrt{25 \cdot 3}}{10} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \quad t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$;

$$\sin t = -\frac{2}{\sqrt{8}} = -\frac{2}{\sqrt{4 \cdot 2}} = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \quad t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $8 \cos t — \sqrt{32} = 0$;

$$\cos t = \frac{\sqrt{32}}{8} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$;

$$\cos t = -\frac{\sqrt{48}}{8} = -\frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{8} = -\frac{4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$

Подходящие точки:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$t_2 = \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} — 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

а) $10 \sin t = \sqrt{75}$

Перепишем уравнение:

$$10 \sin t = \sqrt{75}$$

Разделим обе стороны на 10, чтобы выразить $\sin t$:

$$\sin t = \frac{\sqrt{75}}{10}$$

Упростим выражение для $\sin t$:

$$\sin t = \frac{\sqrt{75}}{10} = \frac{\sqrt{25 \cdot 3}}{10} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, мы получаем, что $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем соответствующие углы, для которых синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно, первая точка, для которой $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, это:

$$t_1 = \frac{\pi}{3}$$

Однако синус функции $\sin t$ имеет периодичность $2\pi$, поэтому существует еще один угол, для которого значение синуса будет равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а именно:

$$t_2 = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Таким образом, подходящие точки на единичной окружности:

$$M_1 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right)$$ $$M_2 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right)$$

Ответ: Так как синус функции периодичен, то мы получаем два решения:

$$t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

б) $\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$

Перепишем уравнение:

$$\sqrt{8} \sin t + 2 = 0$$

Изолируем $\sin t$:

$$\sqrt{8} \sin t = -2$$

Разделим обе стороны на $\sqrt{8}$, чтобы выразить $\sin t$:

$$\sin t = -\frac{2}{\sqrt{8}} = -\frac{2}{\sqrt{4 \cdot 2}} = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Найдем соответствующие углы, для которых синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что:

$$\sin \left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad \sin \left( \frac{7\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, первая точка, для которой $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, это:

$$t_1 = \frac{5\pi}{4}$$

Вторая точка:

$$t_2 = \frac{7\pi}{4}$$

Таким образом, подходящие точки на единичной окружности:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right)$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right)$$

Ответ: Так как синус функции периодичен, то мы получаем два решения:

$$t_1 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

в) $8 \cos t — \sqrt{32} = 0$

Перепишем уравнение:

$$8 \cos t — \sqrt{32} = 0$$

Изолируем $\cos t$:

$$8 \cos t = \sqrt{32}$$

Разделим обе стороны на 8, чтобы выразить $\cos t$:

$$\cos t = \frac{\sqrt{32}}{8} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Найдем соответствующие углы, для которых косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad \cos \left( \frac{7\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, первая точка, для которой $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, это:

$$t_1 = \frac{\pi}{4}$$

Вторая точка:

$$t_2 = \frac{7\pi}{4}$$

Соответствующие числа:

Так как косинус функции периодичен, то для второго угла можно записать:

$$t_2 = \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} — 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Таким образом, подходящие точки на единичной окружности:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right)$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right)$$

Ответ: Так как косинус функции периодичен, то мы получаем два решения:

$$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

г) $8 \cos t = -\sqrt{48}$

Перепишем уравнение:

$$8 \cos t = -\sqrt{48}$$

Изолируем $\cos t$:

$$\cos t = -\frac{\sqrt{48}}{8} = -\frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{8} = -\frac{4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Найдем соответствующие углы, для которых косинус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что:

$$\cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \cos \left( \frac{7\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно, первая точка, для которой $\cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, это:

$$t_1 = \frac{5\pi}{6}$$

Вторая точка:

$$t_2 = \frac{7\pi}{6}$$

Соответствующие числа:

Так как косинус функции периодичен, то для второго угла можно записать:

$$t_2 = \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} — 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Таким образом, подходящие точки на единичной окружности:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{6} \right)$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right)$$

Ответ: Так как косинус функции периодичен, то мы получаем два решения:

$$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.