ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $t = \frac{5\pi}{6}$;

б) $t = \frac{5\pi}{4}$;

в) $t = \frac{7\pi}{6}$;

г) $t = \frac{9\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} — 2\pi = \frac{\pi}{4}$
$$$$$$\cos t = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Вычислить $\sin t$ и $\cos t$, если:

а) $t = \frac{5\pi}{6}$;

$$\sin t = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$

б) $t = \frac{5\pi}{4}$;

$$\sin t = \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$

в) $t = \frac{7\pi}{6}$;

$$\sin t = \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$

г) $t = \frac{9\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} — 2\pi = \frac{\pi}{4}$;

$$\sin t = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos t = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Вычислить $\sin t$ и $\cos t$, если:

а) $t = \frac{5\pi}{6}$

Мы должны найти значения $\sin t$ и $\cos t$ для угла $t = \frac{5\pi}{6}$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во втором квадранте (так как $\frac{5\pi}{6}$ больше, чем $\frac{\pi}{2}$ и меньше, чем $\pi$).

Шаг 1: Определение координат угла в единичной окружности

Второй квадрант:

• Синус положителен во втором квадранте.
• Косинус отрицателен во втором квадранте.

Преобразуем угол в более удобный для анализа вид. Мы знаем, что:

$$t = \frac{5\pi}{6} = \pi — \frac{\pi}{6}$$

Это означает, что угол $\frac{5\pi}{6}$ — это угол $\frac{\pi}{6}$, но с дополнительным поворотом на $\pi$ (180°), что отражает точку в первом квадранте в точку во втором квадранте.

Шаг 2: Используем стандартные значения для угла $\frac{\pi}{6}$

Из таблицы стандартных значений тригонометрических функций:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Применяем правила знаков в разных квадрантах

Так как угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во втором квадранте:

• Синус остается положительным: $\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
• Косинус будет отрицательным: $\cos \frac{5\pi}{6} = — \cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$$\sin t = \frac{1}{2}, \quad \cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

б) $t = \frac{5\pi}{4}$

Теперь вычислим значения $\sin t$ и $\cos t$ для угла $t = \frac{5\pi}{4}$. Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьем квадранте (так как $\frac{5\pi}{4}$ больше, чем $\pi$, но меньше, чем $\frac{3\pi}{2}$).

Шаг 1: Определение координат угла в единичной окружности

Третий квадрант:

• Синус отрицателен в третьем квадранте.
• Косинус отрицателен в третьем квадранте.

Преобразуем угол:

$$t = \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$$

Это угол $\frac{\pi}{4}$ с дополнительным поворотом на $\pi$ (180°), что отражает точку в первом квадранте в точку в третьем квадранте.

Шаг 2: Используем стандартные значения для угла $\frac{\pi}{4}$

Из таблицы стандартных значений тригонометрических функций:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Применяем правила знаков в разных квадрантах

Так как угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьем квадранте:

• Синус будет отрицательным: $\sin \frac{5\pi}{4} = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Косинус будет отрицательным: $\cos \frac{5\pi}{4} = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

$$\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

в) $t = \frac{7\pi}{6}$

Теперь находим значения $\sin t$ и $\cos t$ для угла $t = \frac{7\pi}{6}$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в третьем квадранте (так как $\frac{7\pi}{6}$ больше, чем $\pi$, но меньше, чем $\frac{3\pi}{2}$).

Шаг 1: Определение координат угла в единичной окружности

Третий квадрант:

• Синус отрицателен в третьем квадранте.
• Косинус отрицателен в третьем квадранте.

Преобразуем угол:

$$t = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$$

Это угол $\frac{\pi}{6}$ с дополнительным поворотом на $\pi$ (180°), что отражает точку в первом квадранте в точку в третьем квадранте.

Шаг 2: Используем стандартные значения для угла $\frac{\pi}{6}$

Из таблицы стандартных значений тригонометрических функций:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Применяем правила знаков в разных квадрантах

Так как угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в третьем квадранте:

• Синус будет отрицательным: $\sin \frac{7\pi}{6} = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.
• Косинус будет отрицательным: $\cos \frac{7\pi}{6} = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$$\sin t = -\frac{1}{2}, \quad \cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

г) $t = \frac{9\pi}{4}$

Теперь вычислим значения $\sin t$ и $\cos t$ для угла $t = \frac{9\pi}{4}$. Угол $\frac{9\pi}{4}$ больше, чем $2\pi$, поэтому необходимо его уменьшить, чтобы попасть в диапазон от $0$ до $2\pi$.

Шаг 1: Приводим угол в диапазон от $0$ до $2\pi$

Вычитаем $2\pi$ из угла $t = \frac{9\pi}{4}$:

$$t = \frac{9\pi}{4} — 2\pi = \frac{9\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$

Теперь мы вычисляем $\sin t$ и $\cos t$ для угла $\frac{\pi}{4}$.

Шаг 2: Используем стандартные значения для угла $\frac{\pi}{4}$

Из таблицы стандартных значений тригонометрических функций:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итоговые ответы:

а) $\sin t = \frac{1}{2}, \quad \cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
б) $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
в) $\sin t = -\frac{1}{2}, \quad \cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
г) $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$