ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt{\sin 10,2\pi }$

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$

в) $\sqrt{\sin (-3,4\pi )}$

г) $\sqrt{\cos (-6,9\pi )}$

Выяснить, имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt{\sin 10,2\pi} = \sqrt{\sin(0,2\pi + 10\pi)} = \sqrt{\sin 0,2\pi}$;

$0 < a < \frac{\pi}{2}$;

Точка $a$ располагается в I четверти:

$x > 0$ и $y > 0$;

$\sin \frac{\pi}{5} > 0$;

Ответ: имеет.

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$;

$\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $a$ располагается в III четверти:

$x < 0$ и $y < 0$;

$\cos \frac{13\pi}{10} < 0$;

Ответ: не имеет.

в) $\sqrt{\sin(-3,4\pi)} = \sqrt{\sin(4\pi — 3,4\pi)} = \sqrt{\sin 0,6\pi}$;

$\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Точка $a$ располагается во II четверти:

$x < 0$ и $y > 0$;

$\sin \frac{3\pi}{5} > 0$;

Ответ: имеет.

г) $\sqrt{\cos(-6,9\pi)} = \sqrt{\cos(8\pi — 6,9\pi)} = \sqrt{\cos 1,1\pi}$;

$\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $a$ располагается в III четверти:

$x < 0$ и $y < 0$;

$\cos 1,1\pi < 0$;

Ответ: не имеет.

а) $\sqrt{\sin 10,2\pi} = \sqrt{\sin(0,2\pi + 10\pi)} = \sqrt{\sin 0,2\pi}$

1. Тригонометрическое свойство:

Сначала упростим выражение внутри квадратного корня:

$$\sin 10,2\pi = \sin (10,2\pi).$$

Здесь важно помнить, что синус — периодическая функция с периодом $2\pi$. Это значит, что $\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$ для любого угла $\theta$.

$$\sin(10,2\pi) = \sin(10,2\pi — 2\pi \times 5) = \sin(0,2\pi).$$

Таким образом, получаем, что:

$$\sin 10,2\pi = \sin 0,2\pi.$$

Следовательно, у нас:

$$\sqrt{\sin 10,2\pi} = \sqrt{\sin 0,2\pi}.$$

2. Условия:

• $0 < a < \frac{\pi}{2}$ — углы $a$ лежат в первой четверти, где синус положителен.
• Точка $a$ располагается в I четверти, то есть $x > 0$ и $y > 0$.
• $\sin \frac{\pi}{5} > 0$ — синус угла $\frac{\pi}{5}$ положителен, так как он находится в первой четверти.

3. Ответ:

Поскольку $\sin 0,2\pi$ положителен (он равен синусу угла в первой четверти), выражение $\sqrt{\sin 0,2\pi}$ имеет смысл, так как подкоренное выражение положительно.

Ответ: имеет смысл.

б) $\sqrt{\cos 1,3\pi}$

1. Тригонометрическое свойство:

Посмотрим, что происходит с косинусом угла $1,3\pi$. Важно понимать, что косинус — тоже периодическая функция с периодом $2\pi$.

$$\cos 1,3\pi = \cos(1,3\pi).$$

Угловой интервал $1,3\pi$ попадает в третью четверть (между $\pi$ и $3\pi/2$):

• В III четверти $x < 0$ и $y < 0$, соответственно, $\cos$ отрицателен.

2. Условия:

• $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$ — углы $a$ лежат в третьей четверти, где косинус отрицателен.
• Точка $a$ располагается в III четверти, то есть $x < 0$ и $y < 0$.
• $\cos \frac{13\pi}{10} < 0$ — это истинно, так как $\frac{13\pi}{10}$ находится в III четверти, где косинус отрицателен.

3. Ответ:

Поскольку косинус в третьей четверти отрицателен, подкоренное выражение $\sqrt{\cos 1,3\pi}$ не имеет смысла, так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа невозможно в области действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

в) $\sqrt{\sin(-3,4\pi)} = \sqrt{\sin(4\pi — 3,4\pi)} = \sqrt{\sin 0,6\pi}$

1. Тригонометрическое свойство:

Рассмотрим $\sin(-3,4\pi)$. Мы знаем, что синус — это нечетная функция, то есть $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$. Поэтому:

$$\sin(-3,4\pi) = -\sin(3,4\pi).$$

Для упрощения дальше используем периодичность синуса: $\sin(\theta + 2\pi) = \sin(\theta)$. Мы можем представить $-3,4\pi$ как $4\pi — 3,4\pi$:

$$\sin(-3,4\pi) = \sin(4\pi — 3,4\pi).$$

Затем видим, что:

$$\sin(4\pi — 3,4\pi) = \sin 0,6\pi.$$

Таким образом, мы получаем:

$$\sqrt{\sin(-3,4\pi)} = \sqrt{\sin 0,6\pi}.$$

2. Условия:

• $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ — углы $a$ находятся во второй четверти, где синус положителен.
• Точка $a$ располагается во II четверти, то есть $x < 0$ и $y > 0$.
• $\sin \frac{3\pi}{5} > 0$ — это верно, так как $\frac{3\pi}{5}$ находится в пределах второй четверти, где синус положителен.

3. Ответ:

Так как $\sin 0,6\pi > 0$, подкоренное выражение $\sqrt{\sin 0,6\pi}$ положительно и имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

г) $\sqrt{\cos(-6,9\pi)} = \sqrt{\cos(8\pi — 6,9\pi)} = \sqrt{\cos 1,1\pi}$

1. Тригонометрическое свойство:

Рассмотрим $\cos(-6,9\pi)$. Косинус — четная функция, то есть $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. Поэтому:

$$\cos(-6,9\pi) = \cos(6,9\pi).$$

Используем периодичность косинуса, чтобы упростить выражение:

$$\cos(6,9\pi) = \cos(6,9\pi — 2\pi \times 3) = \cos 1,1\pi.$$

Таким образом:

$$\sqrt{\cos(-6,9\pi)} = \sqrt{\cos 1,1\pi}.$$

2. Условия:

• $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$ — углы $a$ лежат в третьей четверти, где косинус отрицателен.
• Точка $a$ располагается в III четверти, то есть $x < 0$ и $y < 0$.
• $\cos 1,1\pi < 0$ — это верно, так как $\cos 1,1\pi$ отрицателен в третьей четверти.

3. Ответ:

Так как $\cos 1,1\pi < 0$, подкоренное выражение $\sqrt{\cos 1,1\pi}$ не имеет смысла, так как нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел.

Ответ: не имеет смысла.

Общий вывод:

• Ответ на пункт (а): имеет смысл.
• Ответ на пункт (б): не имеет смысла.
• Ответ на пункт (в): имеет смысл.
• Ответ на пункт (г): не имеет смысла.