ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sin \frac{5\pi}{4}}{\cos \frac{5\pi}{4}} = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) : \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = -1;$

б) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = -\frac{\cos \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}};$

в) $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = -\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{6}} = -\frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}};$

г) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg} \frac{2\pi}{3} = -\frac{\cos \frac{2\pi}{3}}{\sin \frac{2\pi}{3}} = -\left(-\frac{1}{2}\right) : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$

а) $\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sin \frac{5\pi}{4}}{\cos \frac{5\pi}{4}} = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) : \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = -1;$

б) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = -\frac{\cos \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}};$

в) $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = -\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{6}} = -\frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}};$

г) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg} \frac{2\pi}{3} = -\frac{\cos \frac{2\pi}{3}}{\sin \frac{2\pi}{3}} = -\left(-\frac{1}{2}\right) : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$

а) $\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{4}\right)$

Основное свойство функции тангенса:
Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\operatorname{tg} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Для угла $-\frac{5\pi}{4}$ это выражение примет вид:

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{\sin \left(-\frac{5\pi}{4}\right)}{\cos \left(-\frac{5\pi}{4}\right)}$$

Используем свойства синуса и косинуса:
Синус и косинус — это четные и нечетные функции соответственно:

$$\sin(-\theta) = -\sin(\theta), \quad \cos(-\theta) = \cos(\theta)$$

Таким образом, мы можем переписать выражение:

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{-\sin \frac{5\pi}{4}}{\cos \frac{5\pi}{4}}$$

Знаем значения тригонометрических функций для угла $\frac{5\pi}{4}$:
Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьей четверти, где синус и косинус отрицательны. Для угла $\frac{5\pi}{4}$ значения синуса и косинуса равны:

$$\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим значения:

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Упрощаем:

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -1$$

б) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Основное свойство функции котангенса:
Котангенс — это отношение косинуса к синусу:

$$\operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Для угла $-\frac{\pi}{3}$ это выражение примет вид:

$$\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)}{\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}$$

Используем свойства синуса и косинуса:
Синус и косинус, как и раньше, являются нечетной и четной функциями:

$$\cos(-\theta) = \cos(\theta), \quad \sin(-\theta) = -\sin(\theta)$$

Поэтому:

$$\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\cos \frac{\pi}{3}}{-\sin \frac{\pi}{3}}$$

Знаем значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{3}$:
Угол $\frac{\pi}{3}$ соответствует стандартным значениям:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим значения:

$$\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

в) $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Основное свойство функции тангенса:
Тангенс для угла $-\frac{\pi}{6}$ тоже выражается как:

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)}$$

Используем свойства синуса и косинуса:
Синус и косинус:

$$\sin(-\theta) = -\sin(\theta), \quad \cos(-\theta) = \cos(\theta)$$

Таким образом, это выражение примет вид:

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{-\sin \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{6}}$$

Знаем значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{6}$:
Угол $\frac{\pi}{6}$ также соответствует стандартным значениям:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим значения:

$$\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

г) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right)$

Основное свойство функции котангенса:
Котангенс для угла $-\frac{2\pi}{3}$ выражается как:

$$\operatorname{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin \left(-\frac{2\pi}{3}\right)}$$

Используем свойства синуса и косинуса:
Синус и косинус:

$$\cos(-\theta) = \cos(\theta), \quad \sin(-\theta) = -\sin(\theta)$$

Таким образом, это выражение примет вид:

$$\operatorname{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\cos \frac{2\pi}{3}}{-\sin \frac{2\pi}{3}}$$

Знаем значения тригонометрических функций для угла $\frac{2\pi}{3}$:
Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а синус положителен:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим значения:

$$\operatorname{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Итог:

а) $\operatorname{tg}\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -1$

б) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

в) $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

г) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$