ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

$\mathrm{а)\; tg}\frac{\pi }{5}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{5}$

$\mathrm{б)\; 3}\mathrm{tg}2,3\cdot \mathrm{ctg}2,3$

$\mathrm{в)\; tg}\frac{\pi }{7}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{7}$

$\mathrm{г)\; 7}\mathrm{tg}\frac{\pi }{12}\cdot \mathrm{ctg}\frac{\pi }{12}$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{5} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} \cdot \frac{\cos \frac{\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{5}} = 1$;

Ответ: 1.

$3 \operatorname{tg} 2,3 \cdot \operatorname{ctg} 2,3 = 3 \cdot \frac{\sin 2,3}{\cos 2,3} \cdot \frac{\cos 2,3}{\sin 2,3} = 3 \cdot 1 = 3$;

Ответ: 3.

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{7} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7} = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{\cos \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{\cos \frac{\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} = 1$;

Ответ: 1.

$7 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{12} = 7 \cdot \frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{12}} \cdot \frac{\cos \frac{\pi}{12}}{\sin \frac{\pi}{12}} = 7 \cdot 1 = 7$;

Ответ: 7.

а) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{5}$

Мы знаем, что:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{и} \quad \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Применим эти формулы для $x = \frac{\pi}{5}$:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} \quad \text{и} \quad \operatorname{ctg} \frac{\pi}{5} = \frac{\cos \frac{\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{5}}$$

Теперь, умножим $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$ на $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{5}$:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{5} = \left( \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}} \right) \cdot \left( \frac{\cos \frac{\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{5}} \right)$$

Видно, что в числителе и знаменателе присутствуют одинаковые выражения $\sin \frac{\pi}{5}$ и $\cos \frac{\pi}{5}$, которые взаимно сокращаются:

$$= \frac{\sin \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{5}} = 1$$

Ответ: 1.

б) $3 \operatorname{tg} 2,3 \cdot \operatorname{ctg} 2,3$

Аналогично первому выражению, используем формулы для тангенса и котангенса:

$$\operatorname{tg} 2,3 = \frac{\sin 2,3}{\cos 2,3} \quad \text{и} \quad \operatorname{ctg} 2,3 = \frac{\cos 2,3}{\sin 2,3}$$

Умножим их:

$$3 \operatorname{tg} 2,3 \cdot \operatorname{ctg} 2,3 = 3 \cdot \left( \frac{\sin 2,3}{\cos 2,3} \right) \cdot \left( \frac{\cos 2,3}{\sin 2,3} \right)$$

Сокращаем одинаковые множители $\sin 2,3$ и $\cos 2,3$:

$$= 3 \cdot \frac{\sin 2,3 \cdot \cos 2,3}{\cos 2,3 \cdot \sin 2,3} = 3 \cdot 1 = 3$$

Ответ: 3.

в) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7}$

Как и в первом примере, используем те же формулы для тангенса и котангенса:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{7} = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{\cos \frac{\pi}{7}} \quad \text{и} \quad \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7} = \frac{\cos \frac{\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}}$$

Теперь умножим:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{7} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{7} = \left( \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{\cos \frac{\pi}{7}} \right) \cdot \left( \frac{\cos \frac{\pi}{7}}{\sin \frac{\pi}{7}} \right)$$

Сокращаем одинаковые множители $\sin \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{\pi}{7}$:

$$= \frac{\sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{\pi}{7}}{\cos \frac{\pi}{7} \cdot \sin \frac{\pi}{7}} = 1$$

Ответ: 1.

г) $7 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{12}$

Используем формулы для тангенса и котангенса:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{12} = \frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{12}} \quad \text{и} \quad \operatorname{ctg} \frac{\pi}{12} = \frac{\cos \frac{\pi}{12}}{\sin \frac{\pi}{12}}$$

Теперь умножим:

$$7 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{12} = 7 \cdot \left( \frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{12}} \right) \cdot \left( \frac{\cos \frac{\pi}{12}}{\sin \frac{\pi}{12}} \right)$$

Сокращаем одинаковые множители $\sin \frac{\pi}{12}$ и $\cos \frac{\pi}{12}$:

$$= 7 \cdot \frac{\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12}} = 7 \cdot 1 = 7$$

Ответ: 7.