ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\mathrm{tg}2,5\cdot \mathrm{ctg}2,5+{\cos }^2\pi -{\sin }^2\frac{\pi }{8}-{\cos }^2\frac{\pi }{8}$

б) ${\sin }^2\frac{3\pi }{7}-2\mathrm{tg}1\cdot \mathrm{ctg}1+{\cos }^2(-\frac{3\pi }{7})+{\sin }^2\frac{5\pi }{2}$

а) $\operatorname{tg} 2,5 \cdot \operatorname{ctg} 2,5 + \cos^2 \pi — \sin^2 \frac{\pi}{8} — \cos^2 \frac{\pi}{8} =$

$= \frac{\sin 2,5}{\cos 2,5} \cdot \frac{\cos 2,5}{\sin 2,5} + (-1)^2 — \left( \sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} \right) = 1 + 1 — 1 = 1;$

Ответ: 1.

б) $\sin^2 \frac{3\pi}{7} — 2 \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1 + \cos^2 \left( -\frac{3\pi}{7} \right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2} =$

$= \left( \sin^2 \frac{3\pi}{7} + \cos^2 \frac{3\pi}{7} \right) — 2 \cdot \frac{\sin 1}{\cos 1} \cdot \frac{\cos 1}{\sin 1} + \sin^2 \left( \frac{5\pi}{2} — 2\pi \right) =$

$= 1 — 2 \cdot 1 + \sin^2 \frac{\pi}{2} = -1 + 1^2 = 0;$

Ответ: 0.

а) $\operatorname{tg} 2,5 \cdot \operatorname{ctg} 2,5 + \cos^2 \pi — \sin^2 \frac{\pi}{8} — \cos^2 \frac{\pi}{8}$

Решение:

Рассмотрим первый множитель $\operatorname{tg} 2,5 \cdot \operatorname{ctg} 2,5$. Из определения этих функций:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}.$$

Тогда:

$$\operatorname{tg} 2,5 = \frac{\sin 2,5}{\cos 2,5}, \quad \operatorname{ctg} 2,5 = \frac{\cos 2,5}{\sin 2,5}.$$

Умножив их, получаем:

$$\operatorname{tg} 2,5 \cdot \operatorname{ctg} 2,5 = \left( \frac{\sin 2,5}{\cos 2,5} \right) \cdot \left( \frac{\cos 2,5}{\sin 2,5} \right) = 1.$$

Следующий элемент в выражении — $\cos^2 \pi$. Известно, что:

$$\cos \pi = -1, \quad \cos^2 \pi = (-1)^2 = 1.$$

Рассмотрим выражение $— \sin^2 \frac{\pi}{8} — \cos^2 \frac{\pi}{8}$. Мы знаем, что для любых углов выполняется основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

Тогда:

$$\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1.$$

Таким образом, $— \sin^2 \frac{\pi}{8} — \cos^2 \frac{\pi}{8} = -1$.

Подставляем все найденные значения в исходное выражение:

$$\operatorname{tg} 2,5 \cdot \operatorname{ctg} 2,5 + \cos^2 \pi — \sin^2 \frac{\pi}{8} — \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1 + 1 — 1 = 1.$$

Ответ: 1.

б) $\sin^2 \frac{3\pi}{7} — 2 \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1 + \cos^2 \left( -\frac{3\pi}{7} \right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2}$

Решение:

Рассмотрим первый элемент $\sin^2 \frac{3\pi}{7}$. Это просто квадрат синуса угла $\frac{3\pi}{7}$, который оставляем в исходном виде.

Второй элемент — $-2 \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1$. Сначала представим $\operatorname{tg} 1$ и $\operatorname{ctg} 1$ через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} 1 = \frac{\sin 1}{\cos 1}, \quad \operatorname{ctg} 1 = \frac{\cos 1}{\sin 1}.$$

Умножив их, получаем:

$$\operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1 = \left( \frac{\sin 1}{\cos 1} \right) \cdot \left( \frac{\cos 1}{\sin 1} \right) = 1.$$

Таким образом, второй элемент:

$$-2 \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1 = -2 \cdot 1 = -2.$$

Третий элемент — $\cos^2 \left( -\frac{3\pi}{7} \right)$. Из свойства косинуса, что $\cos (-x) = \cos x$, имеем:

$$\cos^2 \left( -\frac{3\pi}{7} \right) = \cos^2 \frac{3\pi}{7}.$$

Четвертый элемент — $\sin^2 \frac{5\pi}{2}$. Понимаем, что $\frac{5\pi}{2}$ — это угловое значение, большее, чем $2\pi$, и оно эквивалентно углу $\frac{\pi}{2}$, так как:

$$\frac{5\pi}{2} — 2\pi = \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом:

$$\sin^2 \frac{5\pi}{2} = \sin^2 \frac{\pi}{2} = 1.$$

Теперь подставляем все найденные значения в исходное выражение:

$$\sin^2 \frac{3\pi}{7} — 2 \operatorname{tg} 1 \cdot \operatorname{ctg} 1 + \cos^2 \left( -\frac{3\pi}{7} \right) + \sin^2 \frac{5\pi}{2} =$$ $$= \sin^2 \frac{3\pi}{7} — 2 + \cos^2 \frac{3\pi}{7} + 1.$$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ имеем:

$$\sin^2 \frac{3\pi}{7} + \cos^2 \frac{3\pi}{7} = 1.$$

Подставляем это в выражение:

$$1 — 2 + 1 = 0.$$

Ответ: 0.