ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $1 + \operatorname{tg}^2 t = \cos^{-2} t$;

б) $1 + \operatorname{ctg}^2 t = \sin^{-2} t$;

в) $\sin^2 t \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 t) = 1$;

г) $\cos^2 t \cdot (1 + \operatorname{tg}^2 t) = 1$

Доказать тождество:

а) $1 + \operatorname{tg}^2 t = \cos^{-2} t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$1 + \operatorname{tg}^2 t = 1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t} = \cos^{-2} t;$$

Тождество доказано.

б) $1 + \operatorname{ctg}^2 t = \sin^{-2} t$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$1 + \operatorname{ctg}^2 t = 1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t} = \sin^{-2} t;$$

Тождество доказано.

в) $\sin^2 t \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 t) = 1$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin^2 t \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 t) = \sin^2 t \cdot \left(1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\right) = \sin^2 t + \cos^2 t = 1;$$

Тождество доказано.

г) $\cos^2 t \cdot (1 + \operatorname{tg}^2 t) = 1$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\cos^2 t \cdot (1 + \operatorname{tg}^2 t) = \cos^2 t \cdot \left(1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1;$$

Тождество доказано.

Доказать тождество:

а) $1 + \operatorname{tg}^2 t = \cos^{-2} t$

Рассмотрим левую часть выражения:

$$1 + \operatorname{tg}^2 t.$$

Напишем $\operatorname{tg} t$ через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$1 + \operatorname{tg}^2 t = 1 + \left( \frac{\sin t}{\cos t} \right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}.$$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$:

$$\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t}.$$

И, наконец, $\frac{1}{\cos^2 t} = \cos^{-2} t$.

Таким образом, мы доказали, что

$$1 + \operatorname{tg}^2 t = \cos^{-2} t.$$

Тождество доказано.

б) $1 + \operatorname{ctg}^2 t = \sin^{-2} t$

Рассмотрим левую часть выражения:

$$1 + \operatorname{ctg}^2 t.$$

Напишем $\operatorname{ctg} t$ через синус и косинус:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$1 + \operatorname{ctg}^2 t = 1 + \left( \frac{\cos t}{\sin t} \right)^2 = 1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t}.$$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$:

$$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}.$$

И, наконец, $\frac{1}{\sin^2 t} = \sin^{-2} t$.

Таким образом, мы доказали, что

$$1 + \operatorname{ctg}^2 t = \sin^{-2} t.$$

Тождество доказано.

в) $\sin^2 t \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 t) = 1$

Рассмотрим левую часть выражения:

$$\sin^2 t \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 t).$$

Напишем $\operatorname{ctg} t$ через синус и косинус:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\sin^2 t \cdot \left( 1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \right).$$

Приведем к общему знаменателю:

$$1 + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t}.$$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$:

$$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}.$$

Подставим это обратно в выражение:

$$\sin^2 t \cdot \frac{1}{\sin^2 t} = 1.$$

Таким образом, мы доказали, что

$$\sin^2 t \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 t) = 1.$$

Тождество доказано.

г) $\cos^2 t \cdot (1 + \operatorname{tg}^2 t) = 1$

Рассмотрим левую часть выражения:

$$\cos^2 t \cdot (1 + \operatorname{tg}^2 t).$$

Напишем $\operatorname{tg} t$ через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\cos^2 t \cdot \left( 1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \right).$$

Приведем к общему знаменателю:

$$1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}.$$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$:

$$\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1}{\cos^2 t}.$$

Подставим это обратно в выражение:

$$\cos^2 t \cdot \frac{1}{\cos^2 t} = 1.$$

Таким образом, мы доказали, что

$$\cos^2 t \cdot (1 + \operatorname{tg}^2 t) = 1.$$

Тождество доказано.