ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак выражения:

а) $\cos \frac{5\pi}{9} — \operatorname{tg} \frac{25\pi}{18}$;

б) $\operatorname{tg} 1 — \cos 2$;

в) $\sin \frac{7\pi}{10} — \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5}$;

г) $\sin 2 — \operatorname{ctg} 5,5$

Определить знак выражения:

а) $\cos \frac{5\pi}{9} — \operatorname{tg} \frac{25\pi}{18}$;

Число $\frac{5\pi}{9}$ располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi;$$

$x < 0$ и $y > 0$;

$$\cos \frac{5\pi}{9} < 0;$$

Число $\frac{25\pi}{18}$ располагается в III четверти:

$$\pi < \frac{25\pi}{18} < \frac{3\pi}{2};$$

$x < 0$ и $y < 0$;

$$\operatorname{tg} \frac{25\pi}{18} > 0;$$

Ответ: минус.

б) $\operatorname{tg} 1 — \cos 2$;

Число 1 располагается в I четверти:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$

$x > 0$ и $y > 0$;

$$\operatorname{tg} 1 > 0;$$

Число 2 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$

$x < 0$ и $y > 0$;

$$\cos 2 < 0;$$

Ответ: плюс.

в) $\sin \frac{7\pi}{10} — \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5}$;

Числа $\frac{7\pi}{10}$ и $\frac{3\pi}{5}$ располагаются во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \frac{7\pi}{10} < \pi;$$

$x < 0$ и $y > 0$;

$$\sin \frac{7\pi}{10} > 0;$$ $$\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5} < 0;$$

Ответ: плюс.

г) $\sin 2 — \operatorname{ctg} 5,5$;

Число 2 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$

$x < 0$ и $y > 0$;

$$\sin 2 > 0;$$

Число 5,5 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5,5 < 2\pi;$$

$x > 0$ и $y < 0$;

$$\operatorname{ctg} 5,5 < 0;$$

Ответ: плюс.

Определить знак выражения:

а) $\cos \frac{5\pi}{9} — \operatorname{tg} \frac{25\pi}{18}$

1. Разбор выражения $\cos \frac{5\pi}{9}$:

Для начала определим, в какой четверти находится угол $\frac{5\pi}{9}$. Мы знаем, что полный круг равен $2\pi$, и четверти делят круг следующим образом:

• Первая четверть: $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,
• Вторая четверть: $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$,
• Третья четверть: $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$,
• Четвертая четверть: $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$.

Теперь находим, в какой четверти лежит угол $\frac{5\pi}{9}$:

$$\frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9}, \quad \pi = \frac{9\pi}{9}$$

Получается, что:

$$\frac{5\pi}{9} \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right),$$

то есть угол $\frac{5\pi}{9}$ лежит во второй четверти.

Вторая четверть — это область, где косинус отрицателен. Таким образом, мы имеем:

$$\cos \frac{5\pi}{9} < 0.$$

2. Разбор выражения $\operatorname{tg} \frac{25\pi}{18}$:

Теперь разберемся с углом $\frac{25\pi}{18}$. Аналогично, для того чтобы понять, в какой четверти находится угол $\frac{25\pi}{18}$, сравним его с границами четвертей:

$$\pi = \frac{18\pi}{18}, \quad \frac{3\pi}{2} = \frac{27\pi}{18}$$

Таким образом, угол $\frac{25\pi}{18}$ лежит в интервале:

$$\pi < \frac{25\pi}{18} < \frac{3\pi}{2},$$

то есть в третьей четверти. В третьей четверти тангенс положителен (так как и синус, и косинус отрицательны, их частное дает положительное число):

$$\operatorname{tg} \frac{25\pi}{18} > 0.$$

3. Определение знака выражения:

Теперь можем определить знак выражения $\cos \frac{5\pi}{9} — \operatorname{tg} \frac{25\pi}{18}$. У нас:

• $\cos \frac{5\pi}{9} < 0$,
• $\operatorname{tg} \frac{25\pi}{18} > 0$.

Таким образом, выражение будет отрицательным, так как отрицательное число минус положительное:

$$\cos \frac{5\pi}{9} — \operatorname{tg} \frac{25\pi}{18} < 0.$$

Ответ: минус.

б) $\operatorname{tg} 1 — \cos 2$

1. Разбор выражения $\operatorname{tg} 1$:

Число 1 лежит в первой четверти, поскольку:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2}.$$

В первой четверти тангенс положителен, так как как и синус, и косинус положительны, их частное также положительно:

$$\operatorname{tg} 1 > 0.$$

2. Разбор выражения $\cos 2$:

Число 2 лежит во второй четверти, поскольку:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi.$$

Во второй четверти косинус отрицателен, потому что в этой области косинус принимает отрицательные значения:

$$\cos 2 < 0.$$

3. Определение знака выражения:

Теперь мы можем определить знак выражения $\operatorname{tg} 1 — \cos 2$. У нас:

• $\operatorname{tg} 1 > 0$,
• $\cos 2 < 0$.

Таким образом, выражение будет положительным, так как положительное число минус отрицательное:

$$\operatorname{tg} 1 — \cos 2 > 0.$$

Ответ: плюс.

в) $\sin \frac{7\pi}{10} — \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5}$

1. Разбор выражения $\sin \frac{7\pi}{10}$:

Число $\frac{7\pi}{10}$ лежит во второй четверти, так как:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{10} < \pi.$$

Во второй четверти синус положителен, так как в этой области синус принимает положительные значения:

$$\sin \frac{7\pi}{10} > 0.$$

2. Разбор выражения $\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5}$:

Число $\frac{3\pi}{5}$ также лежит во второй четверти, поскольку:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi.$$

Во второй четверти котангенс отрицателен, так как котангенс — это отношение косинуса к синусу, и в этой области косинус отрицателен, а синус положителен, что дает отрицательное значение котангенса:

$$\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5} < 0.$$

3. Определение знака выражения:

Теперь мы можем определить знак выражения $\sin \frac{7\pi}{10} — \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5}$. У нас:

• $\sin \frac{7\pi}{10} > 0$,
• $\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5} < 0$.

Таким образом, выражение будет положительным, так как положительное число минус отрицательное:

$$\sin \frac{7\pi}{10} — \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{5} > 0.$$

Ответ: плюс.

г) $\sin 2 — \operatorname{ctg} 5,5$

1. Разбор выражения $\sin 2$:

Число 2 лежит во второй четверти, так как:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi.$$

Во второй четверти синус положителен:

$$\sin 2 > 0.$$

2. Разбор выражения $\operatorname{ctg} 5,5$:

Число 5,5 лежит в четвертой четверти, так как:

$$\frac{3\pi}{2} < 5,5 < 2\pi.$$

В четвертой четверти котангенс положителен, потому что в этой области и косинус, и синус имеют разные знаки (косинус положителен, а синус отрицателен), что делает их отношение положительным:

$$\operatorname{ctg} 5,5 > 0.$$

3. Определение знака выражения:

Теперь мы можем определить знак выражения $\sin 2 — \operatorname{ctg} 5,5$. У нас:

• $\sin 2 > 0$,
• $\operatorname{ctg} 5,5 > 0$.

Таким образом, выражение будет положительным, так как положительное число минус положительное:

$$\sin 2 — \operatorname{ctg} 5,5 > 0.$$

Ответ: плюс.

Ответы:

а) минус

б) плюс

в) плюс

г) плюс