ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin 1\cdot \cos 2\cdot \mathrm{tg}3\cdot \mathrm{ctg}4$;

б) $\sin (-5)\cdot \mathrm{ctg}(-6)\cdot \mathrm{tg}(-7)\cdot \mathrm{ctg}(-8)$

Определить знак выражения:

а) $\sin 1\cdot \cos 2\cdot \mathrm{tg}3\cdot \mathrm{ctg}4$;

Число $1$ располагается в I четверти:
$0<1<\frac{\pi }{2};$
$x>0$ и $y>0$;
$\sin 1>0$;

Числа $2$ и $3$ располагаются во II четверти:
$\frac{\pi }{2}<2<3<\pi ;$
$x<0$ и $y>0$;
$\cos 2<0$;
$\mathrm{tg}3<0$;

Число $4$ располагается в III четверти:
$\pi <4<\frac{3\pi }{2};$
$x<0$ и $y<0$;
$\mathrm{ctg}4>0$;

Ответ: плюс.

б) $\sin (-5)\cdot \mathrm{ctg}(-6)\cdot \mathrm{tg}(-7)\cdot \mathrm{ctg}(-8)=$

$=\sin (6,28-5)\cdot \mathrm{ctg}(6,28-6)\cdot \mathrm{tg}(12,56-7)\cdot \mathrm{ctg}(12,56-8)=$

$=\sin 1,28\cdot \mathrm{ctg}0,28\cdot \mathrm{tg}5,56\cdot \mathrm{ctg}4,56;$

Числа $1,28$ и $0,28$ располагаются в I четверти:
$0<0,28<1,28<\frac{\pi }{2};$
$x>0$ и $y>0$;
$\sin 1,28>0$;
$\mathrm{ctg}0,28>0$;

Число $5,56$ располагается в IV четверти:
$\frac{3\pi }{2}<5,56<2\pi ;$
$x>0$ и $y<0$;
$\mathrm{tg}5,56<0$;

Число $4,56$ располагается в III четверти:
$\pi <4,56<\frac{3\pi }{2};$
$x<0$ и $y<0$;
$\mathrm{ctg}4,56>0$;

Ответ: минус.

Определить знак выражения:

а) $\sin 1\cdot \cos 2\cdot \mathrm{tg}3\cdot \mathrm{ctg}4$

1. Разбор выражения $\sin 1$:

Число 1 лежит в первой четверти, так как:

$$0<1<\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

В первой четверти синус положителен:

$$\sin 1>0.$$

2. Разбор выражения $\cos 2$:

Число 2 лежит во второй четверти, так как:

$$\frac{\pi }{2}<2<\pi \mathrm{.}$$

Во второй четверти косинус отрицателен:

$$\cos 2<0.$$

3. Разбор выражения $\mathrm{tg}3$:

Число 3 лежит во второй четверти, так как:

$$\frac{\pi }{2}<3<\pi \mathrm{.}$$

Во второй четверти тангенс отрицателен, так как синус положителен, а косинус отрицателен:

$$\mathrm{tg}3<0.$$

4. Разбор выражения $\mathrm{ctg}4$:

Число 4 лежит в третьей четверти, так как:

$$\pi <4<\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$

В третьей четверти котангенс положителен, так как и синус, и косинус отрицательны, их частное дает положительное значение:

$$\mathrm{ctg}4>0.$$

5. Определение знака выражения:

Теперь мы можем определить знак выражения $\sin 1\cdot \cos 2\cdot \mathrm{tg}3\cdot \mathrm{ctg}4$. У нас:

• $\sin 1>0$,
• $\cos 2<0$,
• $\mathrm{tg}3<0$,
• $\mathrm{ctg}4>0$.

При умножении знаков:

• Положительное $\sin 1$ на отрицательное $\cos 2$ дает отрицательное число.
• Отрицательное $\mathrm{tg}3$ на положительное $\mathrm{ctg}4$ дает отрицательное число.

Таким образом, два отрицательных числа дают положительный результат:

$$\sin 1\cdot \cos 2\cdot \mathrm{tg}3\cdot \mathrm{ctg}4>0.$$

Ответ: плюс.

б) $\sin (-5)\cdot \mathrm{ctg}(-6)\cdot \mathrm{tg}(-7)\cdot \mathrm{ctg}(-8)$

Для начала давайте преобразуем все углы в положительные значения, используя периодичность тригонометрических функций. Мы будем использовать формулы:

$$\sin (-x)=-\sin (x),\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}(x),\mathrm{tg}(-x)=-\mathrm{tg}(x),$$

и соответственно:

$$\sin (-5)=-\sin (5),\mathrm{ctg}(-6)=-\mathrm{ctg}(6),\mathrm{tg}(-7)=$$

$$=-\mathrm{tg}(7),\mathrm{ctg}(-8)=-\mathrm{ctg}(8)\mathrm{.}$$

Таким образом, выражение будет равно:

$$\sin (-5)\cdot \mathrm{ctg}(-6)\cdot \mathrm{tg}(-7)\cdot \mathrm{ctg}(-8)=$$

$$=(-1)\cdot \sin (5)\cdot (-1)\cdot \mathrm{ctg}(6)\cdot (-1)\cdot \mathrm{tg}(7)\cdot (-1)\cdot \mathrm{ctg}(8)\mathrm{.}$$

Это преобразуется в:

$$\sin (5)\cdot \mathrm{ctg}(6)\cdot \mathrm{tg}(7)\cdot \mathrm{ctg}(8)\mathrm{.}$$

1. Разбор выражения $\sin (5)$:

Число 5 лежит в третьей четверти, так как:

$$\pi <5<\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$

В третьей четверти синус отрицателен:

$$\sin 5<0.$$

2. Разбор выражения $\mathrm{ctg}(6)$:

Число 6 лежит в третьей четверти, так как:

$$\pi <6<\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$

В третьей четверти котангенс положителен:

$$\mathrm{ctg}6>0.$$

3. Разбор выражения $\mathrm{tg}(7)$:

Число 7 лежит в третьей четверти, так как:

$$\pi <7<\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$

В третьей четверти тангенс положителен:

$$\mathrm{tg}7>0.$$

4. Разбор выражения $\mathrm{ctg}(8)$:

Число 8 лежит в третьей четверти, так как:

$$\pi <8<\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$

В третьей четверти котангенс положителен:

$$\mathrm{ctg}8>0.$$

5. Определение знака выражения:

Теперь мы можем определить знак выражения:

• $\sin 5<0$,
• $\mathrm{ctg}6>0$,
• $\mathrm{tg}7>0$,
• $\mathrm{ctg}8>0$.

При умножении знаков:

• Отрицательное $\sin 5$ на положительное $\mathrm{ctg}6$ дает отрицательное число.
• Положительное $\mathrm{tg}7$ на положительное $\mathrm{ctg}8$ дает положительное число.

Таким образом, отрицательное число на положительное дает отрицательное значение:

$$\sin 5\cdot \mathrm{ctg}6\cdot \mathrm{tg}7\cdot \mathrm{ctg}8<0.$$

Ответ: минус.

Ответы:

а) плюс

б) минус