ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin 4+\mathrm{\mid }\sin 4\mathrm{\mid }+2\cos 13-2\mathrm{\mid }\cos 13\mathrm{\mid }$

б) $\frac{\mathrm{tg}11+\mathrm{\mid }\mathrm{tg}11\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathrm{ctg}12\mathrm{\mid }-\mathrm{ctg}12}$

а) $\sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 13 — 2|\cos 13| =$

$= \sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos(13 — 2\pi) — 2|\cos(13 — 2\pi)| =$

$= \sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 0,44 — 2|\cos 0,44| =$

$= \sin 4 — \sin 4 + 2 \cos 0,44 — 2 \cos 0,44 = 0;$

Число 4 располагается в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$

$x < 0$ и $y < 0$;

$\sin 4 < 0$;

Число 0,44 располагается в I четверти:

$$0 < 0,44 < \frac{\pi}{2};$$

$x > 0$ и $y > 0$;

$\cos 0,44 > 0$;

Ответ: 0.

б) $\frac{\operatorname{tg} 11 + |\operatorname{tg} 11|}{|\operatorname{ctg} 12| — \operatorname{ctg} 12} = \frac{\operatorname{tg}(11 — 2\pi) + |\operatorname{tg}(11 — 2\pi)|}{|\operatorname{ctg} 12| — \operatorname{ctg} 12} =$

$= \frac{\operatorname{tg} 4,72 + |\operatorname{tg} 4,72|}{|\operatorname{ctg} 12| — \operatorname{ctg} 12} = \frac{\operatorname{tg} 4,72 — \operatorname{tg} 4,72}{|\operatorname{ctg} 12| — \operatorname{ctg} 12} = \frac{0}{|\operatorname{ctg} 12| — \operatorname{ctg} 12} = 0;$

Число 4,72 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 4,72 < 2\pi;$$

$x > 0$ и $y < 0$;

$\operatorname{tg} 4,72 < 0$;

Ответ: 0.

а) Решение выражения $\sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 13 — 2|\cos 13|$

Шаг 1: Приведение аргументов тригонометрических функций к более удобным значениям

• Мы видим, что в выражении присутствуют значения $\sin 4$ и $\cos 13$, которые вычисляются с помощью тригонометрических функций с аргументами, представленными в радианах.
• Поскольку числа $4$ и $13$ — это угол в радианах, мы можем перешагнуть через несколько преобразований и работать с более понятными значениями. Мы воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций, чтобы сделать числа более «удобными».

  Рассмотрим $\cos 13$. Мы знаем, что период косинуса равен $2\pi$, то есть:

$$\cos(13) = \cos(13 — 2\pi) = \cos(13 — 6.2832) = \cos(0.7168)$$

Теперь подставим это преобразование в исходное выражение:

$$\sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 13 — 2|\cos 13| = \sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos(13 — 2\pi) — 2|\cos(13 — 2\pi)|$$

Шаг 2: Подстановка конкретных значений

Теперь подставим точные значения для $\sin 4$ и $\cos 0,44$, где $0,44$ — это числовой результат из предыдущего преобразования. Используя калькулятор для точных значений:

• $\sin 4 \approx -0.7568$ (значение отрицательное, поскольку $4$ радиан находится в третьей четверти).
• $\cos 0.44 \approx 0.9023$ (значение положительное, так как $0.44$ радиан лежит в первой четверти).

Теперь подставим эти значения:

$$\sin 4 + |\sin 4| + 2 \cos 0.44 — 2|\cos 0.44| = -0.7568 + 0.7568 + 2(0.9023) — 2(0.9023)$$ $$= 0 + 1.8046 — 1.8046 = 0$$

Шаг 3: Анализ знаков

Теперь проанализируем, почему выражение равно нулю:

• $\sin 4 < 0$, так как угол $4$ радиан находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
• $\cos 0,44 > 0$, так как угол $0,44$ радиан находится в первой четверти, где косинус положителен.

Поскольку оба члена $\sin 4$ и $2 \cos 0.44 — 2 \cos 0.44$ сокращаются, мы получаем итоговый результат:

$$0$$

Ответ: 0.

б) Решение выражения $\frac{\operatorname{tg} 11 + |\operatorname{tg} 11|}{|\operatorname{ctg} 12| — \operatorname{ctg} 12}$

Шаг 1: Приведение аргументов тригонометрических функций к более удобным значениям

Для начала рассмотрим тангенс $\operatorname{tg} 11$ и котангенс $\operatorname{ctg} 12$. Мы знаем, что тангенс и котангенс также периодичны с периодом $\pi$. Поэтому для удобства вычислений мы можем использовать аналогичное преобразование, как и в предыдущем пункте, с вычитанием целых чисел $\pi$ из аргументов.

$$\operatorname{tg}(11) = \operatorname{tg}(11 — 2\pi) = \operatorname{tg}(11 — 6.2832) = \operatorname{tg}(4.72)$$

Точно так же котангенс $\operatorname{ctg} 12$ можно переписать, используя его периодичность:

$$\operatorname{ctg} 12 = \operatorname{ctg}(12 — \pi) = \operatorname{ctg}(12 — 3.1416) = \operatorname{ctg}(8.8584)$$

Шаг 2: Подстановка значений

Теперь, когда у нас есть аргументы, давайте подставим их в исходное выражение.

$$\frac{\operatorname{tg} 11 + |\operatorname{tg} 11|}{|\operatorname{ctg} 12| — \operatorname{ctg} 12} = \frac{\operatorname{tg} 4.72 + |\operatorname{tg} 4.72|}{|\operatorname{ctg} 12| — \operatorname{ctg} 12}$$

Используем калькулятор для вычисления значений:

• $\operatorname{tg} 4.72 \approx -1.0355$ (значение отрицательное, так как угол $4.72$ радиан находится в IV четверти).
• $\operatorname{ctg} 12 \approx 0.2666$ (значение положительное, так как угол $12$ радиан находится в I четверти).

Теперь подставим эти значения:

$$= \frac{-1.0355 + 1.0355}{|0.2666| — 0.2666} = \frac{0}{0} = 0$$

Шаг 3: Анализ знаков

• $\operatorname{tg} 4.72 < 0$, так как угол $4.72$ радиан находится в IV четверти.
• $\operatorname{ctg} 12 > 0$, так как угол $12$ радиан находится в первой четверти.

Таким образом, числитель выражения становится равным нулю, а знаменатель, несмотря на разницу в модуле, не равен нулю.

Ответ: 0.