ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство (относительно переменной x):

а) $\cos 2 \cdot (2x — 1) < 0$;

б) $\cos 3\cdot \cos 5\cdot (x^2-4)<0$

а) $\cos 2 \cdot (2x — 1) < 0$;

Число 2 располагается во II четверти:$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$$x < 0$ и $y > 0$;$$\cos 2 < 0;$$

Получим неравенство:$$2x — 1 > 0;$$ $$2x > 1;$$ $$x > \frac{1}{2};$$

Ответ: $x > 0,5$.

б) $\cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 — 4) < 0$;

Число 3 располагается во II четверти:$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi;$$$x < 0$ и $y > 0$;$$\cos 3 < 0;$$

Число 5 располагается в IV четверти:$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$$x > 0$ и $y < 0$;$$\cos 5 > 0;$$

Получим неравенство:$$x^2 — 4 > 0;$$ $$(x + 2)(x — 2) > 0;$$ $$x < -2 \text{ и } x > 2;$$

Ответ: $x < -2; x > 2$.

а) Решение неравенства $\cos 2 \cdot (2x — 1) < 0$

Для того чтобы решить неравенство, рассмотрим его пошагово, начиная с анализа тригонометрической функции и затем переходя к неравенству.

Шаг 1: Анализ функции $\cos 2$

Мы видим, что выражение включает в себя функцию $\cos 2$, где $2$ — это угловая мера в радианах. Необходимо понять, в какой четверти находится угол $2$ радиана и какое значение принимает косинус этого угла.

• Известно, что период косинуса составляет $2\pi$, то есть $\cos(\theta)$ повторяется через $2\pi$ радиан.
• Угол $2$ радиана находится в второй четверти (между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$), поскольку $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$. Это значит, что:

  $$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$$

  Косинус угла во второй четверти всегда отрицателен. Поэтому:

  $$\cos 2 < 0$$

Шаг 2: Преобразование неравенства

Неравенство имеет вид:

$$\cos 2 \cdot (2x — 1) < 0$$

Так как мы уже знаем, что $\cos 2 < 0$, можем сосредоточиться на том, чтобы решить неравенство, основанное на произведении двух факторов:

$$(\cos 2) \cdot (2x — 1) < 0$$

Для произведения двух чисел, чтобы результат был отрицательным, один из множителей должен быть положительным, а другой — отрицательным. Поскольку $\cos 2$ отрицательно, то $2x — 1$ должно быть положительным (чтобы произведение стало отрицательным). Это даёт неравенство:

$$2x — 1 > 0$$

Шаг 3: Решение неравенства

Теперь решим неравенство для $x$:

$$2x — 1 > 0$$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$$2x > 1$$

Разделим обе части на 2:

$$x > \frac{1}{2}$$

Ответ:

Таким образом, решение неравенства:

$$x > 0.5$$

б) Решение неравенства $\cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 — 4) < 0$

Теперь решим более сложное неравенство:

$$\cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 — 4) < 0$$

Здесь также необходимо учитывать знаки косинусов и выражения $(x^2 — 4)$, а также использование теорем о знаках произведений. Мы будем решать это поэтапно.

Шаг 1: Анализ функции $\cos 3$

• Мы видим, что угловая мера $3$ радиана находится в второй четверти (так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, а $3$ радиана — это значение в промежутке от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$).
• В этой четверти косинус отрицателен. То есть:

$$\cos 3 < 0$$

Шаг 2: Анализ функции $\cos 5$

• Угол $5$ радиан находится в четвертой четверти, поскольку $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$, а $5$ радиан лежит в промежутке между этими значениями.
• В четвертой четверти косинус положителен. То есть:

$$\cos 5 > 0$$

Шаг 3: Анализ выражения $(x^2 — 4)$

• Выражение $x^2 — 4$ является разностью квадратов, и его можно факторизовать:

$$x^2 — 4 = (x + 2)(x — 2)$$

• Теперь анализируем, при каких значениях $x$ произведение $(x + 2)(x — 2)$ будет положительным или отрицательным.

Решим неравенство:

$$(x + 2)(x — 2) > 0$$

Это произведение будет положительным, когда оба множителя либо положительные, либо оба отрицательные. Рассмотрим интервалы:

• Когда $x > 2$, оба множителя $(x + 2)$ и $(x — 2)$ положительные, то есть произведение положительное.
• Когда $x < -2$, оба множителя $(x + 2)$ и $(x — 2)$ отрицательные, то есть произведение также положительное.

Таким образом, неравенство выполняется при:

$$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2$$

Шаг 4: Решение полного неравенства

Теперь мы имеем полное неравенство:

$$\cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 — 4) < 0$$

Мы знаем, что:

• $\cos 3 < 0$
• $\cos 5 > 0$
• $(x^2 — 4) = (x + 2)(x — 2)$, и оно будет положительным, когда $x < -2$ или $x > 2$.

Чтобы произведение трёх выражений было отрицательным, один из множителей должен быть отрицательным, а два других положительными. Так как $\cos 3$ отрицателен, и $\cos 5$ положителен, то выражение $(x^2 — 4)$ должно быть отрицательным.

• $(x^2 — 4)$ будет отрицательным, когда $-2 < x < 2$.

Шаг 5: Итоговое решение

Итак, нам нужно объединить условия:

1. $\cos 3 \cdot \cos 5$ уже дает отрицательное произведение.
2. Чтобы весь результат был отрицательным, $(x^2 — 4)$ должно быть отрицательным, что происходит при $-2 < x < 2$.

Таким образом, решение для неравенства:

$$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2$$

Ответ: $x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2$.

Ответ:

а) $x > 0,5$

б) $x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2$