ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сравните числа а и b:

а) а = sin 1, b = cos 1;

б) а = sin 4, b = cos 4;

в) а = sin 2, b = cos 2;

г) а = sin 7, b = cos 7.

Сравнить числа $a$ и $b$;

а) $a = \sin 1$, $b = \cos 1$;

Число 1 располагается в I четверти:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$

$x > 0$ и $y > 0$;

Расстояние до точек максимума:

$$y_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 1 \right| \approx 0,57;$$ $$x_{\text{max}} = |0 — 1| \approx 1;$$

Ответ: $a > b$.

б) $a = \sin 4$, $b = \cos 4$;

Число 4 располагается в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$

$x < 0$ и $y < 0$;

Расстояние до точек максимума:

$$y_{\text{max}} = \left| \pi — 4 \right| \approx 0,86;$$ $$x_{\text{max}} = \left| \frac{3\pi}{2} — 4 \right| \approx 0,71;$$

Ответ: $a < b$.

в) $a = \sin 2$, $b = \cos 2$;

Число 2 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$

$x < 0$ и $y > 0$;

Ответ: $a > b$.

г) $a = \sin 7$, $b = \cos 7$;

$a = \sin(7 — 2\pi) = \sin 0,72$;
$b = \cos(7 — 2\pi) = \cos 0,72$;

Число 0,72 располагается в I четверти:

$$0 < 0,72 < \frac{\pi}{2};$$

$x > 0$ и $y > 0$;

Расстояние до точек максимума:

$$y_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 0,72 \right| \approx 0,85;$$ $$x_{\text{max}} = |0 — 0,72| \approx 0,72;$$

Ответ: $a < b$.

Сравнение чисел $a$ и $b$:

а) $a = \sin 1$, $b = \cos 1$

Шаг 1: Определим положения чисел на единичной окружности.

Число 1 (в радианах) — это угол, который располагается в первой четверти, так как:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2}.$$

На единичной окружности:

• $\sin 1$ — это значение $y$-координаты точки на окружности, соответствующей углу $1$ радиан.
• $\cos 1$ — это значение $x$-координаты точки на окружности, соответствующей углу $1$ радиан.

В первой четверти, и $\sin 1$, и $\cos 1$ положительны, но значения этих функций зависят от расстояния угла от точек максимума для каждой функции.

Шаг 2: Рассчитаем расстояние угла до максимума для каждой функции.

Для $\sin 1$:

• Максимальное значение синуса равно 1, оно достигается при $\frac{\pi}{2}$ радиан.
• Расстояние от 1 радиана до $\frac{\pi}{2}$ радиан:

$$y_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 1 \right| \approx \left| 1.5708 — 1 \right| \approx 0.5708.$$

Для $\cos 1$:

• Максимальное значение косинуса равно 1, оно достигается при 0 радиан.
• Расстояние от 1 радиана до 0 радиан:

$$x_{\text{max}} = |0 — 1| = 1.$$

Шаг 3: Сравнение значений $a = \sin 1$ и $b = \cos 1$

Мы знаем, что синус и косинус монотонно убывают и возрастают в пределах первой четверти, соответственно. Углы 1 радиан находятся ближе к точке максимума для косинуса, чем для синуса. Это означает, что:

$$\sin 1 > \cos 1.$$

Ответ:

$$a > b.$$

б) $a = \sin 4$, $b = \cos 4$

Шаг 1: Определим положения чисел на единичной окружности.

Число 4 (в радианах) — это угол, который располагается в третьей четверти, так как:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}.$$

В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны. Однако важно отметить, что синус и косинус меняют знак в зависимости от того, как далеко угол от точек максимума для каждой функции.

Шаг 2: Рассчитаем расстояние угла до максимума для каждой функции.

Для $\sin 4$:

• Максимальное значение синуса равно 1, но синус достигает своего максимума при $\frac{\pi}{2}$ радиан.
• Расстояние от 4 радиан до $\pi$:

$$y_{\text{max}} = \left| \pi — 4 \right| \approx \left| 3.1416 — 4 \right| \approx 0.8584.$$

Для $\cos 4$:

• Максимальное значение косинуса равно 1, и оно достигается при 0 радиан.
• Расстояние от 4 радиан до $\frac{3\pi}{2}$:

$$x_{\text{max}} = \left| \frac{3\pi}{2} — 4 \right| \approx \left| 4.7124 — 4 \right| \approx 0.7124.$$

Шаг 3: Сравнение значений $a = \sin 4$ и $b = \cos 4$

В третьей четверти синус и косинус оба отрицательны, однако, поскольку расстояние угла от максимума для синуса больше, чем для косинуса, это означает, что значение косинуса больше, чем значение синуса.

$$\sin 4 < \cos 4.$$

Ответ:

$$a < b.$$

в) $a = \sin 2$, $b = \cos 2$

Шаг 1: Определим положения чисел на единичной окружности.

Число 2 (в радианах) — это угол, который располагается во второй четверти, так как:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi.$$

В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Шаг 2: Сравнение значений $a = \sin 2$ и $b = \cos 2$

Поскольку $\sin 2$ — положительное, а $\cos 2$ — отрицательное, очевидно, что:

$$\sin 2 > \cos 2.$$

Ответ:

$$a > b.$$

г) $a = \sin 7$, $b = \cos 7$

Шаг 1: Определим положения чисел на единичной окружности.

Число 7 (в радианах) — это угол, который располагается в первой четверти, так как:

$$7 — 2\pi \approx 0.7168 \quad \text{и} \quad 0 < 0.7168 < \frac{\pi}{2}.$$

Это означает, что мы можем рассматривать синус и косинус как $\sin 0.72$ и $\cos 0.72$, где 0.72 радиан — это угол в первой четверти.

Шаг 2: Сравнение значений $a = \sin 0.72$ и $b = \cos 0.72$

В первой четверти синус и косинус положительны, и так как $\sin \theta$ возрастает, а $\cos \theta$ убывает на этом интервале, мы знаем, что:

$$\sin 0.72 < \cos 0.72.$$

Ответ:

$$a < b.$$

Итоговые ответы:

а) $a > b$

б) $a < b$

в) $a > b$

г) $a < b$