ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) а = sin 1, b = cos 6;

б) а =sin 2, b = cos 4;

в) а = sin 4, b = cos 2;

г) а = sin 3, b = cos 5.

Сравнить числа $a$ и $b$:

а) $a = \sin 1$, $b = \cos 6$;

Число 1 располагается в I четверти:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$

$x > 0$ и $y > 0$;

$$\sin 1 > 0;$$

Число 6 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi;$$

$x > 0$ и $y < 0$;

$$\cos 6 > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 1 \right| \approx 0,57;$$ $$x_{\text{max}} = |2\pi — 6| \approx 0,28;$$

Ответ: $a < b$.

б) $a = \sin 2$, $b = \cos 4$;

Число 2 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$

$x < 0$ и $y > 0$;

$$\sin 2 > 0;$$

Число 4 располагается в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$

$x < 0$ и $y < 0$;

$$\cos 4 < 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_{\text{max}} = |\pi — 4| \approx 0,86;$$ $$x_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx 0,43;$$

Ответ: $a > b$.

в) $a = \sin 4$, $b = \cos 2$;

Число 4 располагается в III четверти:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2};$$

$x < 0$ и $y < 0$;

$$\sin 4 < 0;$$

Число 2 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi;$$

$x < 0$ и $y > 0$;

$$\cos 2 < 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_{\text{max}} = |\pi — 4| \approx 0,86;$$ $$x_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx 0,43;$$

Ответ: $a < b$.

г) $a = \sin 3$, $b = \cos 5$;

Число 3 располагается во II четверти:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi;$$

$x < 0$ и $y > 0$;

$$\sin 3 > 0;$$

Число 5 располагается в IV четверти:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi;$$

$x > 0$ и $y < 0$;

$$\cos 5 > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx 1,43;$$ $$x_{\text{max}} = |2\pi — 5| \approx 1,28;$$

Ответ: $a < b$.

а) $a = \sin 1$, $b = \cos 6$

Шаг 1: Определяем местоположение чисел на единичной окружности.

Для числа 1 (в радианах):

Угол $1$ радиан — это угол в первой четверти, так как:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2}.$$

На единичной окружности, если угол находится в первой четверти, и синус, и косинус положительны. Однако синус и косинус зависят от того, насколько близки эти углы к максимальным значениям для каждой из функций.

Для числа 6 (в радианах):

Угол $6$ радиан — это угол в четвертой четверти, так как:

$$\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi.$$

В четвертой четверти синус отрицателен, а косинус положителен.

Шаг 2: Расстояния до точек максимума для каждой функции.

Для $\sin 1$:

• Максимальное значение синуса равно 1, и оно достигается при угле $\frac{\pi}{2}$.
• Чтобы найти расстояние до максимума для синуса, определим разницу между $\frac{\pi}{2}$ и углом 1 радиан:

$$y_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 1 \right| \approx \left| 1.5708 — 1 \right| = 0.5708.$$

Для $\cos 6$:

• Максимальное значение косинуса равно 1, и оно достигается при угле $0$ (или $2\pi$).
• Чтобы найти расстояние до максимума для косинуса, определим разницу между $2\pi$ и углом 6 радиан:

$$x_{\text{max}} = |2\pi — 6| \approx |6.2832 — 6| = 0.2832.$$

Шаг 3: Сравнение значений $a = \sin 1$ и $b = \cos 6$

$\sin 1$ и $\cos 6$ оба положительные, однако, поскольку $\sin 1$ находится дальше от своей точки максимума ($\frac{\pi}{2}$), а $\cos 6$ ближе к своей точке максимума $2\pi$, то $\cos 6$ будет больше.

$$a = \sin 1 < b = \cos 6.$$

Ответ: $a < b$.

б) $a = \sin 2$, $b = \cos 4$

Шаг 1: Определяем местоположение чисел на единичной окружности.

Для числа 2 (в радианах):

Угол $2$ радиан — это угол во второй четверти, так как:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi.$$

В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Для числа 4 (в радианах):

Угол $4$ радиан — это угол в третьей четверти, так как:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}.$$

В третьей четверти синус и косинус оба отрицательны.

Шаг 2: Расстояния до точек максимума для каждой функции.

Для $\sin 2$:

• Максимальное значение синуса равно 1, и оно достигается при угле $\frac{\pi}{2}$.
• Чтобы найти расстояние до максимума для синуса, определим разницу между $\frac{\pi}{2}$ и углом 2 радиан:

$$y_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx \left| 1.5708 — 2 \right| = 0.4292.$$

Для $\cos 4$:

• Максимальное значение косинуса равно 1, и оно достигается при угле $0$ (или $2\pi$).
• Чтобы найти расстояние до максимума для косинуса, определим разницу между $2\pi$ и углом 4 радиан:

$$x_{\text{max}} = |2\pi — 4| \approx |6.2832 — 4| = 2.2832.$$

Шаг 3: Сравнение значений $a = \sin 2$ и $b = \cos 4$

$\sin 2$ положительно, так как угол 2 находится во второй четверти.

$\cos 4$ отрицательно, так как угол 4 находится в третьей четверти.

Таким образом:

$$a = \sin 2 > b = \cos 4.$$

Ответ: $a > b$.

в) $a = \sin 4$, $b = \cos 2$

Шаг 1: Определяем местоположение чисел на единичной окружности.

Для числа 4 (в радианах):

Угол $4$ радиан — это угол в третьей четверти, так как:

$$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}.$$

В этой четверти синус и косинус оба отрицательны.

Для числа 2 (в радианах):

Угол $2$ радиан — это угол во второй четверти, так как:

$$\frac{\pi}{2} < 2 < \pi.$$

В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Шаг 2: Расстояния до точек максимума для каждой функции.

Для $\sin 4$:

• Максимальное значение синуса равно 1, и оно достигается при угле $\frac{\pi}{2}$.
• Чтобы найти расстояние до максимума для синуса, определим разницу между $\pi$ и углом 4 радиан:

$$y_{\text{max}} = |\pi — 4| \approx |3.1416 — 4| = 0.8584.$$

Для $\cos 2$:

• Максимальное значение косинуса равно 1, и оно достигается при угле $0$ (или $2\pi$).
• Чтобы найти расстояние до максимума для косинуса, определим разницу между $\frac{\pi}{2}$ и углом 2 радиан:

$$x_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 2 \right| \approx |1.5708 — 2| = 0.4292.$$

Шаг 3: Сравнение значений $a = \sin 4$ и $b = \cos 2$

$\sin 4$ отрицателен, так как угол 4 находится в третьей четверти.

$\cos 2$ отрицателен, так как угол 2 находится во второй четверти.

Однако, поскольку $\cos 2$ ближе к своей точке максимума (угол $0$), а $\sin 4$ дальше от своей точки максимума (угол $\frac{\pi}{2}$), то:

$$a = \sin 4 < b = \cos 2.$$

Ответ: $a < b$.

г) $a = \sin 3$, $b = \cos 5$

Шаг 1: Определяем местоположение чисел на единичной окружности.

Для числа 3 (в радианах):

Угол $3$ радиан — это угол в второй четверти, так как:

$$\frac{\pi}{2} < 3 < \pi.$$

В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Для числа 5 (в радианах):

Угол $5$ радиан — это угол в четвертой четверти, так как:

$$\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi.$$

В этой четверти синус отрицателен, а косинус положителен.

Шаг 2: Расстояния до точек максимума для каждой функции.

Для $\sin 3$:

• Максимальное значение синуса равно 1, и оно достигается при угле $\frac{\pi}{2}$.
• Чтобы найти расстояние до максимума для синуса, определим разницу между $\frac{\pi}{2}$ и углом 3 радиан:

$$y_{\text{max}} = \left| \frac{\pi}{2} — 3 \right| \approx \left| 1.5708 — 3 \right| = 1.4292.$$

Для $\cos 5$:

• Максимальное значение косинуса равно 1, и оно достигается при угле $0$ (или $2\pi$).
• Чтобы найти расстояние до максимума для косинуса, определим разницу между $2\pi$ и углом 5 радиан:

$$x_{\text{max}} = |2\pi — 5| \approx |6.2832 — 5| = 1.2832.$$

Шаг 3: Сравнение значений $a = \sin 3$ и $b = \cos 5$

$\sin 3$ положителен, так как угол 3 находится во второй четверти.

$\cos 5$ положителен, так как угол 5 находится в четвертой четверти.

Однако, поскольку расстояние до максимума для $\sin 3$ больше, чем для $\cos 5$, то:

$$a = \sin 3 < b = \cos 5.$$

Ответ: $a < b$.

Итоговые ответы:

а) $a < b$

б) $a > b$

в) $a < b$

г) $a < b$