ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\sin \frac{\pi }{7}$; $\sin \frac{\pi }{5}$; $\sin \frac{2\pi }{3}$; $\sin \frac{7\pi }{6}$; $\sin \frac{4\pi }{3}$;

б) $\cos \frac{\pi }{8}$; $\cos \frac{\pi }{3}$; $\cos \frac{5\pi }{6}$; $\cos \frac{5\pi }{4}$; $\cos \frac{7\pi }{4}$

Расположить числа в порядке возрастания:

а) $\sin \frac{\pi }{7}$; $\sin \frac{\pi }{5}$; $\sin \frac{2\pi }{3}$; $\sin \frac{7\pi }{6}$; $\sin \frac{4\pi }{3}$;

Числа $\frac{\pi }{7},\frac{\pi }{5},\frac{2\pi }{3}$ располагаются в I и II четвертях:
$0<\frac{\pi }{7}<\frac{\pi }{5}<\frac{2\pi }{3}<\pi$;
$\sin t>0$;

Числа $\frac{7\pi }{6},\frac{4\pi }{3}$ располагаются в III четверти:
$\pi <\frac{7\pi }{6}<\frac{4\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$;
$\sin t<0$;

Расстояние до точек максимума:
$y_1=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{7}\mid =\frac{7\pi }{14}-\frac{2\pi }{14}=\frac{5\pi }{14}\approx 1,12$;
$y_2=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}\mid =\frac{5\pi }{10}-\frac{2\pi }{10}=\frac{3\pi }{10}\approx 0,94$;
$y_3=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{3}\mid =\frac{4\pi }{6}-\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{6}\approx 0,52$;
$y_4=\mid \pi -\frac{7\pi }{6}\mid =\frac{7\pi }{6}-\pi =\frac{\pi }{6}\approx 0,52$;
$y_5=\mid \pi -\frac{4\pi }{3}\mid =\frac{4\pi }{3}-\pi =\frac{\pi }{3}\approx 1,04$;

Ответ: $\sin \frac{4\pi }{3}$; $\sin \frac{7\pi }{6}$; $\sin \frac{\pi }{7}$; $\sin \frac{\pi }{5}$; $\sin \frac{2\pi }{3}$.

б) $\cos \frac{\pi }{8}$; $\cos \frac{\pi }{3}$; $\cos \frac{5\pi }{6}$; $\cos \frac{5\pi }{4}$; $\cos \frac{7\pi }{4}$;

Числа $\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3}$ располагаются в I четверти:
$0<\frac{\pi }{8}<\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}$;
$\cos t>0$;

Число $\frac{5\pi }{6}$ располагается во II четверти:
$\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi$;
$\cos t<0$;

Число $\frac{5\pi }{4}$ располагается в III четверти:
$\pi <\frac{5\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$;
$\cos t<0$;

Число $\frac{7\pi }{4}$ располагается в IV четверти:
$\frac{3\pi }{2}<\frac{7\pi }{4}<2\pi$;
$\cos t>0$;

Расстояние до точек максимума:
$y_1=\mid 0-\frac{\pi }{8}\mid =\frac{\pi }{8}\approx 0,39$;
$y_2=\mid 0-\frac{\pi }{3}\mid =\frac{\pi }{3}\approx 1,04$;
$y_3=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{5\pi }{6}\mid =\frac{5\pi }{6}-\frac{3\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}\approx 1,04$;
$y_4=\mid \frac{3\pi }{2}-\frac{5\pi }{4}\mid =\frac{6\pi }{4}-\frac{5\pi }{4}=\frac{\pi }{4}\approx 0,78$;
$y_5=\mid 2\pi -\frac{7\pi }{4}\mid =\frac{8\pi }{4}-\frac{7\pi }{4}=\frac{\pi }{4}\approx 0,78$;

Ответ: $\cos \frac{5\pi }{6}$; $\cos \frac{5\pi }{4}$; $\cos \frac{\pi }{3}$; $\cos \frac{7\pi }{4}$; $\cos \frac{\pi }{8}$.

а) $\sin \frac{\pi }{7},\sin \frac{\pi }{5},\sin \frac{2\pi }{3},\sin \frac{7\pi }{6},\sin \frac{4\pi }{3}$

Шаг 1: Определение местоположения углов на единичной окружности

Число $\frac{\pi }{7}$ — это угол в первой четверти, так как:

$$0<\frac{\pi }{7}<\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

В первой четверти синус положителен.

Число $\frac{\pi }{5}$ — это угол в первой четверти, так как:

$$0<\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

В первой четверти синус положителен.

Число $\frac{2\pi }{3}$ — это угол во второй четверти, так как:

$$\frac{\pi }{2}<\frac{2\pi }{3}<\pi \mathrm{.}$$

Во второй четверти синус положителен.

Число $\frac{7\pi }{6}$ — это угол в третьей четверти, так как:

$$\pi <\frac{7\pi }{6}<\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$

В третьей четверти синус отрицателен.

Число $\frac{4\pi }{3}$ — это угол в третьей четверти, так как:

$$\pi <\frac{4\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$

В третьей четверти синус отрицателен.

Шаг 2: Определение расстояния до точек максимума для синуса

Для каждого угла будем искать расстояние от него до точки максимума синуса (на максимуме синус равен 1 и это происходит при $\frac{\pi }{2}$).

Для $\sin \frac{\pi }{7}$:

• Максимальное значение синуса достигается при $\frac{\pi }{2}$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_1=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{7}\mid =\frac{7\pi }{14}-\frac{2\pi }{14}=\frac{5\pi }{14}\approx \mathrm{1.12.}$$

Для $\sin \frac{\pi }{5}$:

• Максимальное значение синуса достигается при $\frac{\pi }{2}$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_2=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}\mid =\frac{5\pi }{10}-\frac{2\pi }{10}=\frac{3\pi }{10}\approx \mathrm{0.94.}$$

Для $\sin \frac{2\pi }{3}$:

• Максимальное значение синуса достигается при $\frac{\pi }{2}$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_3=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{3}\mid =\frac{4\pi }{6}-\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{6}\approx \mathrm{0.52.}$$

Для $\sin \frac{7\pi }{6}$:

• Максимальное значение синуса достигается при $\pi$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_4=\mid \pi -\frac{7\pi }{6}\mid =\frac{7\pi }{6}-\pi =\frac{\pi }{6}\approx \mathrm{0.52.}$$

Для $\sin \frac{4\pi }{3}$:

• Максимальное значение синуса достигается при $\pi$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_5=\mid \pi -\frac{4\pi }{3}\mid =\frac{4\pi }{3}-\pi =\frac{\pi }{3}\approx \mathrm{1.04.}$$

Шаг 3: Сортировка значений

Мы отсортируем синусы по их расстояниям до точек максимума (чем меньше расстояние, тем больше значение синуса).

1. $\sin \frac{2\pi }{3}$ (расстояние $0.52$) — наибольшее значение.
2. $\sin \frac{7\pi }{6}$ (расстояние $0.52$) — следующее.
3. $\sin \frac{\pi }{5}$ (расстояние $0.94$) — меньшее значение.
4. $\sin \frac{4\pi }{3}$ (расстояние $1.04$) — ещё меньшее значение.
5. $\sin \frac{\pi }{7}$ (расстояние $1.12$) — наименьшее значение.

Ответ:

$$\sin \frac{4\pi }{3},\sin \frac{7\pi }{6},\sin \frac{\pi }{7},\sin \frac{\pi }{5},\sin \frac{2\pi }{3}$$

б) $\cos \frac{\pi }{8},\cos \frac{\pi }{3},\cos \frac{5\pi }{6},\cos \frac{5\pi }{4},\cos \frac{7\pi }{4}$

Шаг 1: Определение местоположения углов на единичной окружности

Число $\frac{\pi }{8}$ — это угол в первой четверти, так как:

$$0<\frac{\pi }{8}<\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

В первой четверти косинус положителен.

Число $\frac{\pi }{3}$ — это угол в первой четверти, так как:

$$0<\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

В первой четверти косинус положителен.

Число $\frac{5\pi }{6}$ — это угол во второй четверти, так как:

$$\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi \mathrm{.}$$

Во второй четверти косинус отрицателен.

Число $\frac{5\pi }{4}$ — это угол в третьей четверти, так как:

$$\pi <\frac{5\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$

В третьей четверти косинус отрицателен.

Число $\frac{7\pi }{4}$ — это угол в четвертой четверти, так как:

$$\frac{3\pi }{2}<\frac{7\pi }{4}<2\pi \mathrm{.}$$

В четвертой четверти косинус положителен.

Шаг 2: Определение расстояния до точек максимума для косинуса

Для каждого угла будем искать расстояние от него до точки максимума косинуса (на максимуме косинус равен 1 и это происходит при $0$ и $2\pi$).

Для $\cos \frac{\pi }{8}$:

• Максимальное значение косинуса достигается при $0$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_1=\mid 0-\frac{\pi }{8}\mid =\frac{\pi }{8}\approx \mathrm{0.39.}$$

Для $\cos \frac{\pi }{3}$:

• Максимальное значение косинуса достигается при $0$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_2=\mid 0-\frac{\pi }{3}\mid =\frac{\pi }{3}\approx \mathrm{1.04.}$$

Для $\cos \frac{5\pi }{6}$:

• Максимальное значение косинуса достигается при $0$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_3=\mid \frac{\pi }{2}-\frac{5\pi }{6}\mid =\frac{5\pi }{6}-\frac{3\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}\approx \mathrm{1.04.}$$

Для $\cos \frac{5\pi }{4}$:

• Максимальное значение косинуса достигается при $0$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_4=\mid \frac{3\pi }{2}-\frac{5\pi }{4}\mid =\frac{6\pi }{4}-\frac{5\pi }{4}=\frac{\pi }{4}\approx \mathrm{0.78.}$$

Для $\cos \frac{7\pi }{4}$:

• Максимальное значение косинуса достигается при $2\pi$.
• Расстояние до точки максимума:

$$y_5=\mid 2\pi -\frac{7\pi }{4}\mid =\frac{8\pi }{4}-\frac{7\pi }{4}=\frac{\pi }{4}\approx \mathrm{0.78.}$$

Шаг 3: Сортировка значений

Мы отсортируем косинусы по их расстояниям до точек максимума (чем меньше расстояние, тем больше значение косинуса).

1. $\cos \frac{\pi }{8}$ (расстояние $0.39$) — наибольшее значение.
2. $\cos \frac{7\pi }{4}$ (расстояние $0.78$) — следующее.
3. $\cos \frac{5\pi }{4}$ (расстояние $0.78$) — следующее.
4. $\cos \frac{\pi }{3}$ (расстояние $1.04$) — меньшее значение.
5. $\cos \frac{5\pi }{6}$ (расстояние $1.04$) — наименьшее значение.

Ответ:

$$\cos \frac{5\pi }{6},\cos \frac{5\pi }{4},\cos \frac{\pi }{3},\cos \frac{7\pi }{4},\cos \frac{\pi }{8}$$