ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\frac{1}{2}$; $\sin \frac{1}{2}$; $\sin \frac{13}{24}$;

б) $\frac{1}{2}$; $\cos 1$; $\cos 1,1$

Расположить числа в порядке возрастания:

а) $\frac{1}{2}$; $\sin \frac{1}{2}$; $\sin \frac{13}{24}$;

Преобразуем числа:

$$\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6} \approx \sin 0,52;$$ $$\sin \frac{1}{2} = \sin 0,5;$$ $$\sin \frac{13}{24} \approx \sin 0,54;$$

Все числа принадлежат первой четверти:

$$0 < 0,5 < 0,52 < 0,54 < \frac{\pi}{2};$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 0,52 \right| = 1,05;$$ $$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 0,5 \right| = 1,07;$$ $$y_3 = \left| \frac{\pi}{3} — 0,54 \right| = 1,03;$$

Ответ: $\sin \frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$; $\sin \frac{13}{24}$.

б) $\frac{1}{2}$; $\cos 1$; $\cos 1,1$;

Преобразуем числа:

$$\frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} \approx \cos 1,04;$$

Все числа принадлежат первой четверти:

$$0 < 1 < 1,04 < 1,1 < \frac{\pi}{2};$$

Расстояние до точек максимума:

$$x_1 = |0 — 1,04| = 1,04;$$ $$x_2 = |0 — 1| = 1;$$ $$x_3 = |0 — 1,1| = 1,1;$$

Ответ: $\cos 1,1$; $\frac{1}{2}$; $\cos 1$.

а) $\frac{1}{2}$; $\sin \frac{1}{2}$; $\sin \frac{13}{24}$

1) Преобразуем числа:

Для начала нужно преобразовать числа в более удобные для сравнения формы. Мы имеем три числа, среди которых одно выражено как дробь, а два других — через тригонометрические функции.

• $\frac{1}{2}$ — это значение синуса угла $\frac{\pi}{6}$. Зная, что:

  $$\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6} \approx \sin 0,52.$$

  Таким образом, $\frac{1}{2}$ можно интерпретировать как $\sin \frac{\pi}{6}$, что приблизительно равно $\sin 0,52$ радиан.

• $\sin \frac{1}{2}$ — это значение синуса угла $\frac{1}{2}$ радиана:

  $$\sin \frac{1}{2} = \sin 0,5.$$

• $\sin \frac{13}{24}$ — это значение синуса угла $\frac{13}{24}$ радиана:

  $$\sin \frac{13}{24} \approx \sin 0,54.$$

Таким образом, мы преобразовали все три числа в синусы углов, которые примерно равны $0,52$, $0,5$ и $0,54$.

2) Все числа принадлежат первой четверти:

Значения $\frac{1}{2}$, $\sin \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{13}{24}$ все находятся в первой четверти, так как:

• $0 < \frac{1}{2} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$),
• $0 < 0,5 < \frac{\pi}{2}$,
• $0 < 0,52 < \frac{\pi}{2}$,
• $0 < 0,54 < \frac{\pi}{2}$.

Здесь все значения находятся в интервале от $0$ до $\frac{\pi}{2}$, и поэтому все они положительные. Сравним их по величине:

$$0 < 0,5 < 0,52 < 0,54 < \frac{\pi}{2}.$$

3) Расстояние до точек максимума:

Теперь рассчитаем расстояние каждого числа до максимума соответствующей тригонометрической функции:

• Для $\sin \frac{1}{2}$ (или $\sin 0,5$):
  Максимум $\sin t$ достигается в точке $t = \frac{\pi}{2}$, где $\sin t = 1$.
  Расстояние от $t = 0,5$ до $t = \frac{\pi}{2}$ равно:

  $$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — 0,5 \right| \approx 1,07.$$

• Для $\frac{1}{2}$ (или $\sin 0,52$):
  Расстояние от $t = 0,52$ до $t = \frac{\pi}{2}$ равно:

  $$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — 0,52 \right| = 1,05.$$

• Для $\sin \frac{13}{24}$ (или $\sin 0,54$):
  Расстояние от $t = 0,54$ до $t = \frac{\pi}{2}$ равно:

  $$y_3 = \left| \frac{\pi}{2} — 0,54 \right| = 1,03.$$

4) Сравнение чисел:

Теперь, имея информацию о расстояниях до точек максимума, давайте расположим числа в порядке возрастания:

1. $\sin \frac{13}{24}$ (или $\sin 0,54$) находится ближе к максимуму, чем $\sin \frac{1}{2}$, так как его расстояние до максимума наименьшее.
2. $\frac{1}{2}$ (или $\sin 0,52$) также ближе к максимуму, чем $\sin \frac{1}{2}$.
3. $\sin \frac{1}{2}$ (или $\sin 0,5$) находится дальше всего от максимума.

Ответ для части (а):

$$\sin \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \sin \frac{13}{24}.$$

б) $\frac{1}{2}$; $\cos 1$; $\cos 1,1$

1) Преобразуем числа:

Для этого шага нужно преобразовать числа, чтобы удобнее было их сравнивать.

• $\frac{1}{2}$ — это значение косинуса угла $\frac{\pi}{3}$, то есть:

  $$\frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} \approx \cos 1,04.$$

  Таким образом, $\frac{1}{2}$ можно записать как $\cos 1,04$.

2) Все числа принадлежат первой четверти:

• $\frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$ находится в первой четверти, так как $\cos t$ положительный для $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
• $\cos 1$, $\cos 1,1$ — это значения косинусов, которые тоже принадлежат первой четверти, так как $0 < 1 < 1,04 < 1,1 < \frac{\pi}{2}$.

Значения этих чисел положительные, и расположение углов на числовой оси дает:

$$0 < 1 < 1,04 < 1,1 < \frac{\pi}{2}.$$

3) Расстояние до точек максимума:

Для нахождения расстояний от каждого угла до точек максимума, рассмотрим функцию $\cos t$, которая достигает максимума в точке $t = 0$ (где $\cos t = 1$).

• Для $\cos 1,04$:
  Расстояние от $t = 1,04$ до точки максимума (где $\cos t = 1$) равно:

  $$x_1 = |0 — 1,04| = 1,04.$$

• Для $\cos 1$:
  Расстояние от $t = 1$ до точки максимума:

  $$x_2 = |0 — 1| = 1.$$

• Для $\cos 1,1$:
  Расстояние от $t = 1,1$ до точки максимума:

  $$x_3 = |0 — 1,1| = 1,1.$$

4) Сравнение чисел:

Теперь мы можем упорядочить числа по возрастанию, используя информацию о расстояниях до точек максимума:

• $\cos 1,1$ находится наибольше от максимума.
• $\frac{1}{2} = \cos 1,04$ и $\cos 1$ находятся ближе к максимальному значению, но $\cos 1$ ближе.

Ответ для части (б):

$$\cos 1,1; \frac{1}{2}; \cos 1.$$