ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin t > 0$;

б) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\sin t < 0$;

г) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

а) $\sin t > 0$;

Дуга ограничена точками:
$M_1(1; 0) = M_1(0);$
$M_2(-1; 0) = M_2(\pi);$

Ответ: $2\pi n < t < \pi + 2\pi n$.

б) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{2\pi}{3}\right) = M_1\left(-\frac{4\pi}{3}\right);$
$M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{3}\right);$

Ответ: $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

в) $\sin t < 0$;

Дуга ограничена точками:
$M_1(-1; 0) = M_1(\pi) = M_1(-\pi);$
$M_2(1; 0) = M_2(0);$

Ответ: $-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$.

г) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Дуга ограничена точками:
$M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right);$
$M_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right);$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

а) $\sin t > 0$

1. Условие: $\sin t > 0$

Для того чтобы $\sin t > 0$, нам нужно понять, когда синус угла положителен. Функция синуса имеет положительные значения в интервалах, где угол $t$ находится в первой и второй четверти. Это происходит, когда угол $t$ лежит в интервале:

$$0 < t < \pi$$

2. Дуга ограничена точками

В данном случае дуга ограничена точками:

• $M_1(1; 0) = M_1(0)$: точка, где $\sin t = 0$, это начало интервала, то есть $t = 0$.
• $M_2(-1; 0) = M_2(\pi)$: точка, где $\sin t = 0$, это конец интервала, то есть $t = \pi$.

Таким образом, дуга между точками $M_1$ и $M_2$ на интервале от 0 до $\pi$, где $\sin t > 0$, выражается как:

$$0 < t < \pi$$

3. Ответ

Ответ на этот пункт:

$$2\pi n < t < \pi + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$. Таким образом, интервал повторяется через каждые $2\pi$ единиц.

б) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Условие: $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для того чтобы $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$, нам нужно найти те значения угла $t$, для которых синус меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы знаем, что $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при:

$$t = \frac{\pi}{3}, \quad t = \frac{2\pi}{3}$$

Это два стандартных значения для синуса.

Так как $\sin t$ возрастает в первой четверти (от 0 до $\frac{\pi}{2}$) и убывает в второй четверти (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$), нам нужно исключить значения синуса, которые равны $\frac{\sqrt{3}}{2}$. То есть мы ищем интервал, где синус меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, нужный интервал будет:

$$-\frac{4\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3}$$

где $t$ может быть как отрицательным, так и положительным, так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$.

2. Дуга ограничена точками

Здесь дуга ограничена точками:

• $M_1\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{2\pi}{3}\right) = M_1\left(-\frac{4\pi}{3}\right)$: это точки, где синус достигает значения $\frac{\sqrt{3}}{2}$ или равен ему.
• $M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{3}\right)$: точка, где синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Итак, интервал для $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, так как период функции синуса равен $2\pi$.

3. Ответ

Ответ на этот пункт:

$$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

в) $\sin t < 0$

1. Условие: $\sin t < 0$

Синус отрицателен, когда угол $t$ находится в третьей и четвертой четвертях, то есть на интервале от $\pi$ до $2\pi$ и от $-\pi$ до 0. Нам нужно найти такой интервал, где $\sin t$ будет меньше нуля.

Так, для $\sin t < 0$, интервал будет:

$$\pi < t < 2\pi$$

2. Дуга ограничена точками

Здесь дуга ограничена точками:

• $M_1(-1; 0) = M_1(\pi) = M_1(-\pi)$: точки, где синус равен 0.
• $M_2(1; 0) = M_2(0)$: точка, где синус равен 0.

Таким образом, дуга, где синус отрицателен, ограничена точками $-\pi$ и $\pi$, и имеет вид:

$$-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$$

3. Ответ

Ответ на этот пункт:

$$-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$$

г) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Условие: $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Мы знаем, что $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при:

$$t = \frac{\pi}{3}, \quad t = \frac{2\pi}{3}$$

Нам нужно найти интервал, где синус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это происходит в интервале между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Так, для $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$, интервал будет:

$$\frac{\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$$

2. Дуга ограничена точками

Здесь дуга ограничена точками:

• $M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{3}\right)$
• $M_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Интервал для $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$ будет:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

3. Ответ

Ответ на этот пункт:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $2\pi n < t < \pi + 2\pi n$

б) $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

в) $-\pi + 2\pi n < t < 2\pi n$

г) $\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$