ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\cos t>0$;

б) $\cos t<\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos t<0$;

г) $\cos t>\frac{\sqrt{2}}{2}$

а) $\cos t>0$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(0;-1)=M_1\left(\frac{3\pi }{2}\right)=M_1(-\frac{\pi }{2});$$$$M_2(0;1)=M_2\left(\frac{\pi }{2}\right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi }{2}+2\pi n<t<\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$$

б) $\cos t<\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})=M_1\left(\frac{\pi }{4}\right);$$$$M_2(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})=M_2\left(\frac{7\pi }{4}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{7\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

в) $\cos t<0$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(0;1)=M_1\left(\frac{\pi }{2}\right);$$$$M_2(0;-1)=M_2\left(\frac{3\pi }{2}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi }{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$$

г) $\cos t>\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})=M_1\left(\frac{7\pi }{4}\right)=M_1(-\frac{\pi }{4});$$$$M_2(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})=M_2\left(\frac{\pi }{4}\right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

а) $\cos t>0$

1. Общая информация:

Косинус угла $t$ положителен, когда точка, соответствующая углу $t$ на единичной окружности, находится в правой половине окружности. Это соответствует углам в интервале от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$, а также на других подобных интервалах, получаемых с добавлением целых кратных углу $2\pi$.

2. Определение точек, при которых $\cos t=0$:

Косинус равен нулю, когда углы равны $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{2}$, так как в этих точках точка на окружности лежит на оси $y$, и косинус (проекция на ось $x$) равен нулю.

3. Решение:

Неравенство $\cos t>0$ выполняется в интервале между точками, где $\cos t=0$, то есть в интервале от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$, и на каждом следующем интервале, получаемом с добавлением $2\pi n$.

Ответ:

$$-\frac{\pi }{2}+2\pi n<t<\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$$

б) $\cos t<\frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Общая информация:

Значение $\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует углам $t=\frac{\pi }{4}$ и $t=\frac{7\pi }{4}$ на единичной окружности, так как $\cos \frac{\pi }{4}=\cos \frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Определение точек, при которых $\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Точки, где $\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$, находятся в положительных и отрицательных квадрантах. Эти углы на единичной окружности находятся в интервалах от $\frac{\pi }{4}$ до $\frac{7\pi }{4}$.

3. Решение:

Неравенство $\cos t<\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется на интервале, который лежит между углами, где $\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это интервал от $\frac{\pi }{4}$ до $\frac{7\pi }{4}$, и такие интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{7\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

в) $\cos t<0$

1. Общая информация:

Косинус отрицателен, когда точка, соответствующая углу $t$, лежит в левой половине единичной окружности, то есть в интервалах, где углы соответствуют второй и третьей четверти.

2. Определение точек, при которых $\cos t=0$:

Косинус равен нулю в точках $t=\frac{\pi }{2}$ и $t=\frac{3\pi }{2}$.

3. Решение:

Неравенство $\cos t<0$ выполняется между этими точками, то есть в интервале от $\frac{\pi }{2}$ до $\frac{3\pi }{2}$. Эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$\frac{\pi }{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$$

г) $\cos t>\frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Общая информация:

Значение $\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует углам $t=\frac{\pi }{4}$ и $t=\frac{7\pi }{4}$ на единичной окружности.

2. Определение точек, при которых $\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Углы, где $\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$, находятся в первой и четвертой четверти единичной окружности, то есть от $-\frac{\pi }{4}$ до $\frac{\pi }{4}$.

3. Решение:

Неравенство $\cos t>\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется в интервале от $-\frac{\pi }{4}$ до $\frac{\pi }{4}$. Эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$-\frac{\pi }{4}+2\pi n<t<\frac{\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$