ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin t \leq \frac{1}{2}$;

б) $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin t \geq -\frac{1}{2}$;

г) $\cos t\le \frac{\sqrt{2}}{2}$

а) $\sin t \leq \frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{6} \right) = M_1 \left( -\frac{7\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{\pi}{6} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

б) $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{4} \right) = M_1 \left( -\frac{3\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

в) $\sin t \geq -\frac{1}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{11\pi}{6} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

г) $\cos t \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{4} \right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$$

а) $\sin t \leq \frac{1}{2}$

1. Общая информация:

Синус угла $t$ на единичной окружности — это вертикальная проекция точки, соответствующей углу $t$, на ось $y$. Мы ищем такие интервалы для углов $t$, где синус не превышает $\frac{1}{2}$.

2. Определение точек, при которых $\sin t = \frac{1}{2}$:

Значение $\sin t = \frac{1}{2}$ достигается для углов:

$$t_1 = \frac{\pi}{6}, \quad t_2 = \frac{5\pi}{6}.$$

Эти углы находятся в первом и втором квадранте, где синус положителен.

3. Геометрический смысл:

Неравенство $\sin t \leq \frac{1}{2}$ выполняется в интервалах, где точка на единичной окружности лежит на или ниже уровня $\frac{1}{2}$. Эти интервалы находятся между углами $-\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$ на окружности.

4. Решение:

Неравенство $\sin t \leq \frac{1}{2}$ выполняется на интервале от $-\frac{7\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$, так как именно в этом диапазоне синус не превышает $\frac{1}{2}$. Эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

б) $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Общая информация:

Косинус угла $t$ на единичной окружности — это горизонтальная проекция точки, соответствующей углу $t$, на ось $x$. Мы ищем такие интервалы для углов $t$, где косинус больше или равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Определение точек, при которых $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Значение $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается для углов:

$$t_1 = \frac{5\pi}{4}, \quad t_2 = -\frac{3\pi}{4}.$$

Эти углы находятся в третьем и четвертом квадранте.

3. Геометрический смысл:

Неравенство $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется в интервале между углами $-\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$, поскольку именно в этом диапазоне косинус не становится меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Решение:

Неравенство $\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется на интервале от $-\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$, и эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

в) $\sin t \geq -\frac{1}{2}$

1. Общая информация:

Синус угла $t$ будет больше или равен $-\frac{1}{2}$ в тех участках окружности, где точка на окружности находится выше или на уровне горизонтальной линии, соответствующей $y = -\frac{1}{2}$.

2. Определение точек, при которых $\sin t = -\frac{1}{2}$:

Значение $\sin t = -\frac{1}{2}$ достигается для углов:

$$t_1 = \frac{7\pi}{6}, \quad t_2 = \frac{11\pi}{6}.$$

Эти углы находятся в третьем и четвертом квадранте.

3. Геометрический смысл:

Неравенство $\sin t \geq -\frac{1}{2}$ выполняется на интервале между углами $-\frac{\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{6}$, так как синус не опускается ниже $-\frac{1}{2}$ на этом интервале.

4. Решение:

Неравенство $\sin t \geq -\frac{1}{2}$ выполняется на интервале от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$, и эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq t \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

г) $\cos t \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Общая информация:

Косинус угла $t$ будет меньше или равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в тех областях окружности, где проекция точки на ось $x$ не превышает $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Определение точек, при которых $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

Значение $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается для углов:

$$t_1 = \frac{\pi}{4}, \quad t_2 = \frac{7\pi}{4}.$$

Эти углы находятся в первом и четвертом квадранте.

3. Геометрический смысл:

Неравенство $\cos t \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется на интервале между углами $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$, так как в этом диапазоне косинус не превышает $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Решение:

Неравенство $\cos t \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется на интервале от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$, и эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq t \leq \frac{7\pi}{4} + 2\pi n.$$