ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

а)

$$\begin{cases} \sin t > 0 \\ \sin t < \frac{1}{2} \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} \cos t < 0 \\ \cos t > -\frac{1}{2} \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$$

г)

$$\begin{cases} \cos t > \frac{1}{2} \\ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$

а)

$$\begin{cases} \sin t > 0 \\ \sin t < \frac{1}{2} \end{cases}$$

Первая дуга ограничена точками:

$$M_1(1; 0) = M_1(0);$$ $$M_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{6}\right);$$

Вторая дуга ограничена точками:

$$M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{6}\right);$$ $$M_2(-1; 0) = M_2(\pi);$$

Ответ: $2\pi n < t_1 < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t_2 \leqslant \pi + 2\pi n$.

б)

$$\begin{cases} \cos t < 0 \\ \cos t > -\frac{1}{2} \end{cases}$$

Первая дуга ограничена точками:

$$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right);$$

Вторая дуга ограничена точками:

$$M_1\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{4\pi}{3}\right);$$ $$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t_1 < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t_2 < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

в)

$$\begin{cases} \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$$

Первая дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{7\pi}{4}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{4}\right);$$ $$M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{3}\right);$$

Вторая дуга ограничена точками:

$$M_1\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{2\pi}{3}\right);$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{4}\right);$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t_2 \leqslant \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

г)

$$\begin{cases} \cos t > \frac{1}{2} \\ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$

Первая дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{4}\right);$$ $$M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_3\left(\frac{\pi}{3}\right);$$

Вторая дуга ограничена точками:

$$M_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{3}\right);$$ $$M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{7\pi}{4}\right) = M_2\left(-\frac{\pi}{4}\right);$$

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t_1 < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$; $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_2 < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

а) $\sin t > 0$ и $\sin t < \frac{1}{2}$

1. Общая информация:

Задача состоит из двух частей:

• Первая часть: $\sin t > 0$, что означает, что точка, соответствующая углу $t$, лежит в верхней половине единичной окружности (в первом и втором квадрантах).
• Вторая часть: $\sin t < \frac{1}{2}$, что указывает, что точка лежит ниже линии $y = \frac{1}{2}$, которая ограничивает верхнюю половину окружности.

2. Первая дуга: $\sin t > 0$

Значение $\sin t > 0$ выполняется на интервале от $0$ до $\pi$ (в первом и втором квадрантах).

• Для этого, $t$ ограничено углами:
  • $M_1(1; 0) = M_1(0)$, что соответствует точке на оси $x$, где $\sin t = 0$.
  • $M_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{6}\right)$, это точка на окружности, где $\sin t = \frac{1}{2}$.

Итак, первая дуга будет на интервале от $0$ до $\frac{\pi}{6}$.

3. Вторая дуга: $\sin t < \frac{1}{2}$

Значение $\sin t = \frac{1}{2}$ достигается при углах:

• $M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{6}\right)$, это точка на окружности, где синус равен $\frac{1}{2}$.
• $M_2(-1; 0) = M_2(\pi)$, это точка на оси $x$, где синус равен $0$.

Таким образом, вторая дуга будет на интервале от $\frac{5\pi}{6}$ до $\pi$.

4. Ответ:

Интервал для $t$, удовлетворяющий обоим неравенствам, будет:

• $2\pi n < t_1 < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
• $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t_2 \leqslant \pi + 2\pi n$

б) $\cos t < 0$ и $\cos t > -\frac{1}{2}$

1. Общая информация:

Задача состоит из двух частей:

• Первая часть: $\cos t < 0$, что означает, что точка, соответствующая углу $t$, находится в левой половине единичной окружности (второй и третий квадранты).
• Вторая часть: $\cos t > -\frac{1}{2}$, что указывает, что точка не может быть слишком далеко влево по оси $x$, и будет ограничена углами, где косинус равен $-\frac{1}{2}$.

2. Первая дуга: $\cos t < 0$

Значение $\cos t < 0$ выполняется в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ (во втором и третьем квадрантах).

• Для этого, $t$ ограничено углами:
  • $M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right)$, это точка на оси $y$, где косинус равен $0$.
  • $M_2\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{2\pi}{3}\right)$, это точка на окружности, где косинус равен $-\frac{1}{2}$.

Таким образом, первая дуга будет на интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{2\pi}{3}$.

3. Вторая дуга: $\cos t > -\frac{1}{2}$

Значение $\cos t = -\frac{1}{2}$ достигается при углах:

• $M_1\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{4\pi}{3}\right)$, это точка на окружности, где косинус равен $-\frac{1}{2}$.
• $M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right)$, это точка на оси $y$, где косинус равен $0$.

Таким образом, вторая дуга будет на интервале от $\frac{4\pi}{3}$ до $\frac{3\pi}{2}$.

4. Ответ:

Интервал для $t$, удовлетворяющий обоим неравенствам, будет:

• $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t_1 < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
• $\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t_2 < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

в) $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Общая информация:

Задача состоит из двух частей:

• Первая часть: $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$, что означает, что точка находится выше горизонтальной линии, соответствующей $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Вторая часть: $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$, что означает, что точка находится ниже горизонтальной линии, соответствующей $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Первая дуга: $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Значение $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается при углах:

• $M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{7\pi}{4}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{4}\right)$.
• $M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Таким образом, первая дуга будет на интервале от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{3}$.

3. Вторая дуга: $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается при углах:

• $M_1\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
• $M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{4}\right)$.

Таким образом, вторая дуга будет на интервале от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{4}$.

4. Ответ:

Интервал для $t$, удовлетворяющий обоим неравенствам, будет:

• $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
• $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t_2 \leqslant \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

г) $\cos t > \frac{1}{2}$ и $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Общая информация:

Задача состоит из двух частей:

• Первая часть: $\cos t > \frac{1}{2}$, что означает, что точка находится вправо от вертикальной линии, соответствующей $x = \frac{1}{2}$.
• Вторая часть: $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$, что означает, что точка находится слева от вертикальной линии, соответствующей $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Первая дуга: $\cos t > \frac{1}{2}$

Значение $\cos t = \frac{1}{2}$ достигается при углах:

• $M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
• $M_2\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_3\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Таким образом, первая дуга будет на интервале от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{3}$.

3. Вторая дуга: $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Значение $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается при углах:

• $M_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{3}\right) = M_1\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
• $M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{7\pi}{4}\right) = M_2\left(-\frac{\pi}{4}\right)$.

Таким образом, вторая дуга будет на интервале от $-\frac{\pi}{3}$ до $-\frac{\pi}{4}$.

4. Ответ:

Интервал для $t$, удовлетворяющий обоим неравенствам, будет:

• $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t_1 < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
• $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_2 < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t_1 < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad \frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_2 < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$