ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sin (-\frac{3\pi }{4})+\cos (-\frac{\pi }{4})+\sin \frac{\pi }{2}\cdot \cos \frac{\pi }{2}+\cos 0\cdot \sin \frac{\pi }{2}$

б) $\cos \frac{5\pi }{3}+\cos \frac{4\pi }{3}+\sin \frac{3\pi }{2}\cdot \sin \frac{5\pi }{8}\cdot \cos \frac{3\pi }{2}$

а) $\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\frac{\pi}{2} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 \cdot \sin\frac{\pi}{2} =$

$$= -\sin\frac{3\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 + 1 \cdot 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + 1 = 1;$$

Ответ: 1.

б) $\cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2} = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} + (-1) \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot 0 = 0$;

Ответ: 0.

Вычислим каждое выражение максимально подробно, разбив все шаги.

а) $\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\frac{\pi}{2} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 \cdot \sin\frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Разбираем $\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$

Используем свойство синуса, что $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$$\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\sin\frac{3\pi}{4}$$

Из стандартных значений для угла $\frac{3\pi}{4}$ (угол в верхнем полукруге, второй квадрант, синус положительный):

$$\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно:

$$\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Разбираем $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Используем свойство косинуса, что $\cos(-x) = \cos(x)$:

$$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$$

Из стандартных значений для угла $\frac{\pi}{4}$:

$$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно:

$$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Разбираем $\sin\frac{\pi}{2} \cdot \cos\frac{\pi}{2}$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{\pi}{2} = 1, \quad \cos\frac{\pi}{2} = 0$$

Теперь умножаем:

$$\sin\frac{\pi}{2} \cdot \cos\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 0 = 0$$

Шаг 4: Разбираем $\cos 0 \cdot \sin\frac{\pi}{2}$

Из стандартных значений:

$$\cos 0 = 1, \quad \sin\frac{\pi}{2} = 1$$

Теперь умножаем:

$$\cos 0 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = 1 \cdot 1 = 1$$

Шаг 5: Подставляем все значения в выражение

Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение:

$$\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\frac{\pi}{2} \cdot \cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 \cdot \sin\frac{\pi}{2}$$ $$= -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + 1$$

Шаг 6: Упрощаем выражение

$$= -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + 1$$ $$= 0 + 1 = 1$$

Ответ:

$$1$$

б) $\cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}$

Шаг 1: Разбираем $\cos\frac{5\pi}{3}$

Для угла $\frac{5\pi}{3}$, который находится в четвертом квадранте (где косинус положительный), из стандартных значений:

$$\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Разбираем $\cos\frac{4\pi}{3}$

Для угла $\frac{4\pi}{3}$, который находится в третьем квадранте (где косинус отрицателен), из стандартных значений:

$$\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Разбираем $\sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{3\pi}{2} = -1, \quad \cos\frac{3\pi}{2} = 0$$

Теперь умножаем:

$$\sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2} = (-1) \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot 0 = 0$$

Шаг 4: Подставляем все значения в выражение

Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение:

$$\cos\frac{5\pi}{3} + \cos\frac{4\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{5\pi}{8} \cdot \cos\frac{3\pi}{2}$$ $$= \frac{1}{2} — \frac{1}{2} + 0$$

Шаг 5: Упрощаем выражение

$$= \frac{1}{2} — \frac{1}{2} + 0 = 0$$

Ответ:

$$0$$

Итоговые ответы:

а) $1$
б) $0$