ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\begin{cases} \sin t > 0 \\ \cos t < \frac{1}{2} \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} \cos t < 0 \\ \sin t > -\frac{1}{2} \end{cases}$$

$$M_1 (0; 1) = M_1 \left( \frac{\pi}{2} \right);$$ $${}_{}$$

в)

$$\begin{cases} \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos t < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$$

г)

$$\begin{cases} \cos t > \frac{1}{2} \\ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$

а)

$$\begin{cases} \sin t > 0 \\ \cos t < \frac{1}{2} \end{cases}$$

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right);$$ $$M_2 (-1; 0) = M_2 (\pi);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \pi + 2\pi n.$$

б)

$$\begin{cases} \cos t < 0 \\ \sin t > -\frac{1}{2} \end{cases}$$

Дуга ограничена точками:

$$M_1 (0; 1) = M_1 \left( \frac{\pi}{2} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{7\pi}{6} \right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

в)

$$\begin{cases} \sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos t < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$$

Первая дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{4} \right);$$

Вторая дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{7\pi}{4} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{11\pi}{6} \right) = M_2 \left( -\frac{\pi}{6} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \quad \frac{\pi}{6} + 2\pi n < t_2 < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

г)

$$\begin{cases} \cos t > \frac{1}{2} \\ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$

Дуга ограничена точками:

$$M_1 \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{5\pi}{3} \right) = M_1 \left( -\frac{\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

а) $\sin t > 0$ и $\cos t < \frac{1}{2}$

1. Общая информация:

Необходимо найти интервал для углов $t$, при которых одновременно выполняются два условия:

• $\sin t > 0$, то есть точка, соответствующая углу $t$, лежит в верхней половине единичной окружности (в первом и втором квадрантах).
• $\cos t < \frac{1}{2}$, то есть проекция точки на ось $x$ не может быть больше $\frac{1}{2}$.

2. Первая часть: $\sin t > 0$

Для $\sin t > 0$ углы $t$ находятся в интервале от $0$ до $\pi$, то есть в первом и втором квадрантах. Это ограничивает нас интервалом:

$$0 < t < \pi.$$

3. Вторая часть: $\cos t < \frac{1}{2}$

Теперь ищем интервал, на котором косинус угла $t$ меньше $\frac{1}{2}$. Косинус равен $\frac{1}{2}$ в точках $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{5\pi}{3}$. Нам нужно найти, где $\cos t < \frac{1}{2}$, то есть в интервале между этими точками. На единичной окружности это соответствует интервалу от $\frac{\pi}{3}$ до $\pi$.

4. Решение:

Неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$ выполняется на интервале от $\frac{\pi}{3}$ до $\pi$, и этот интервал повторяется через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \pi + 2\pi n.$$

б) $\cos t < 0$ и $\sin t > -\frac{1}{2}$

1. Общая информация:

Задача состоит из двух условий:

• $\cos t < 0$, что означает, что точка, соответствующая углу $t$, находится в левой половине единичной окружности (второй и третий квадранты).
• $\sin t > -\frac{1}{2}$, что указывает на то, что точка находится выше горизонтальной линии, соответствующей $y = -\frac{1}{2}$.

2. Первая часть: $\cos t < 0$

Для $\cos t < 0$ углы $t$ находятся в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ (во втором и третьем квадрантах). Этот интервал ограничивает нас:

$$\frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2}.$$

3. Вторая часть: $\sin t > -\frac{1}{2}$

Теперь ищем интервал, на котором $\sin t > -\frac{1}{2}$. Синус равен $-\frac{1}{2}$ в точках $t = \frac{7\pi}{6}$ и $t = \frac{11\pi}{6}$. Нам нужно найти, где $\sin t > -\frac{1}{2}$, то есть в интервале между этими точками.

4. Решение:

Неравенство $\sin t > -\frac{1}{2}$ выполняется на интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{7\pi}{6}$, и на интервале от $\frac{7\pi}{6}$ до $\frac{3\pi}{2}$. Эти интервалы повторяются через $2\pi$ для всех целых $n$.

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

в) $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. Общая информация:

Нам нужно решить систему неравенств:

• $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$, что означает, что точка, соответствующая углу $t$, находится выше горизонтальной линии, соответствующей $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $\cos t < \frac{\sqrt{3}}{2}$, что означает, что проекция точки на ось $x$ меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Первая дуга: $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Значение $\sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается в точках:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) = M_1\left(\frac{\pi}{6}\right),$$ $$M_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{5\pi}{4}\right).$$

Интервал для первой дуги: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

3. Вторая дуга: $\cos t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается в точках:

$$M_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_1\left(\frac{7\pi}{4}\right),$$ $$M_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right) = M_2\left(\frac{11\pi}{6}\right).$$

Интервал для второй дуги: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t_2 < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

4. Решение:

Интервал, удовлетворяющий обоим неравенствам:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t_1 < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \quad \frac{\pi}{6} + 2\pi n < t_2 < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

г) $\cos t > \frac{1}{2}$ и $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Общая информация:

Необходимо найти интервал, где одновременно выполняются два неравенства:

• $\cos t > \frac{1}{2}$, что означает, что точка находится вправо от вертикальной линии, соответствующей $x = \frac{1}{2}$.
• $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}$, что указывает на то, что точка находится ниже горизонтальной линии, соответствующей $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Первая дуга: $\cos t > \frac{1}{2}$

Значение $\cos t = \frac{1}{2}$ достигается при углах:

$$M_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{3}\right),$$ $$M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{\pi}{4}\right).$$

Первая дуга находится в интервале от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{4}$.

3. Вторая дуга: $\sin t < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Значение $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается при углах:

$$M_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = M_1\left(\frac{5\pi}{3}\right),$$ $$M_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M_2\left(\frac{7\pi}{4}\right).$$

4. Решение:

Интервал для $t$, удовлетворяющий обоим неравенствам:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad \frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad \frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$