ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin t \cdot \cos t > 0$

б) $\sin t \cdot \operatorname{tg} t \leq 0$

в) $\operatorname{ctg} t \cdot \cos t < 0$

г) $\mathrm{tg}t\cdot \mathrm{ctg}t\ge 0$

а) $\sin t \cdot \cos t > 0$

$$\Rightarrow \begin{cases} \sin t > 0 \\ \cos t > 0 \end{cases} \cup \begin{cases} \sin t < 0 \\ \cos t < 0 \end{cases}$$

Первая дуга ограничена точками:

$$M_1(1; 0) = M_1(0);$$ $$M_2(0; 1) = M_2\left(\frac{\pi}{2}\right);$$

Соответствующие числа:

$$2\pi n < t_1 < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\pi(2n) < t_1 < \frac{\pi}{2} + \pi(2n);$$

Вторая дуга ограничена точками:

$$M_1(-1; 0) = M_1(\pi);$$ $$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$

Соответствующие числа:

$$\pi + 2\pi n < t_2 < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\pi(2n + 1) < t_2 < \frac{\pi}{2} + \pi(2n + 1);$$

Ответ: $\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k$.

б) $\sin t \cdot \operatorname{tg} t \leq 0$

$$\sin t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} \leq 0;$$ $$\frac{\sin^2 t}{\cos t} \leq 0 \quad \Rightarrow \begin{cases} \cos t < 0, \\ \sin t = 0. \end{cases}$$

Дуга ограничена точками:

$$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$

Подходящие точки:

$$M_1(1; 0) = M_1(0);$$ $$M_2(-1; 0) = M_2(\pi);$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \quad t = 2\pi n$.

в) $\operatorname{ctg} t \cdot \cos t < 0$

$$\frac{\cos t}{\sin t} \cdot \cos t < 0;$$ $$\frac{\cos^2 t}{\sin t} < 0 \quad \Rightarrow \begin{cases} \cos t \neq 0, \\ \sin t < 0. \end{cases}$$

Подходящие точки:

$$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$

Дуга ограничена точками:

$$M_2(-1; 0) = M_2(\pi);$$ $$M_1(1; 0) = M_1(2\pi);$$

Ответ: $\pi + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \quad \frac{3\pi}{2} + 2\pi n < t_2 < 2\pi + 2\pi n$.

г) $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \geq 0$

$$\frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} \geq 0;$$ $$1 \geq 0 \quad \Rightarrow \begin{cases} \cos t \neq 0, \\ \sin t \neq 0. \end{cases}$$

Подходящие точки:

$$M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right);$$ $$M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right);$$

Подходящие точки:

$$M_3(1; 0) = M_3(0);$$ $$M_4(-1; 0) = M_4(\pi);$$

Соответствующие числа:

$$t_1 \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi(4n)}{2} = \frac{\pi(4n + 1)}{2};$$ $$t_2 \neq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi(4n)}{2} = \frac{\pi(4n + 3)}{2};$$ $$t_3 \neq 0 + 2\pi n = \frac{\pi(4n)}{2};$$ $$t_4 \neq \pi + 2\pi n = \frac{2\pi}{2} + \frac{\pi(4n)}{2} = \frac{\pi(4n + 2)}{2};$$

Ответ: $t \neq \frac{\pi n}{2}$.

а) $\sin t \cdot \cos t > 0$

1. Общая информация:

Неравенство $\sin t \cdot \cos t > 0$ означает, что произведение синуса и косинуса должно быть положительным. Это выполняется в двух случаях:

• $\sin t > 0$ и $\cos t > 0$ (в первом квадранте);
• $\sin t < 0$ и $\cos t < 0$ (в третьем квадранте).

2. Первая часть: $\sin t > 0$ и $\cos t > 0$

Для $\sin t > 0$, точка на единичной окружности находится в верхней половине (в первом и втором квадрантах). А для $\cos t > 0$ точка должна быть в правой половине окружности (в первом и четвертом квадрантах).

Таким образом, пересечение этих двух условий происходит только в первом квадранте, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$. Это первая дуга.

3. Вторая часть: $\sin t < 0$ и $\cos t < 0$

Для $\sin t < 0$, точка на окружности должна быть в нижней половине (в третьем и четвертом квадрантах). Для $\cos t < 0$, точка должна быть в левой половине окружности (во втором и третьем квадрантах).

Таким образом, пересечение этих двух условий происходит только в третьем квадранте, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Это вторая дуга.

4. Ответ:

Интервалы для $t$, где выполняется неравенство $\sin t \cdot \cos t > 0$:

$$\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) $\sin t \cdot \operatorname{tg} t \leq 0$

1. Общая информация:

Неравенство $\sin t \cdot \operatorname{tg} t \leq 0$ можно переписать как:

$$\sin t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin^2 t}{\cos t} \leq 0$$

Это неравенство выполнено, когда $\cos t < 0$ и $\sin t = 0$. То есть, синус должен быть равен нулю, а косинус отрицателен.

2. Решение:

Синус равен нулю в точках $t = 0, \pi, 2\pi, \dots$. Косинус отрицателен во втором и третьем квадрантах, то есть на интервале $(\pi, 2\pi)$.

3. Подходящие точки:

• $M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right)$
• $M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right)$
• $M_1(1; 0) = M_1(0)$
• $M_2(-1; 0) = M_2(\pi)$

Таким образом, интервал для $t$, на котором выполняется неравенство:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \quad t = 2\pi n$$

4. Ответ:

Интервал для $t$:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \quad t = 2\pi n$$

в) $\operatorname{ctg} t \cdot \cos t < 0$

1. Общая информация:

Неравенство $\operatorname{ctg} t \cdot \cos t < 0$ можно переписать как:

$$\frac{\cos t}{\sin t} \cdot \cos t < 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\cos^2 t}{\sin t} < 0$$

Это выполняется, когда $\cos^2 t$ положительно, а $\sin t$ отрицателен. То есть, косинус не равен нулю, а синус должен быть отрицателен.

2. Решение:

• $\cos t \neq 0$, это значит, что углы $t \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$
• $\sin t < 0$, это означает, что углы $t$ находятся в нижней половине окружности, то есть на интервале $(\pi, 2\pi)$.

3. Подходящие точки:

• $M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right)$
• $M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right)$
• $M_2(-1; 0) = M_2(\pi)$
• $M_1(1; 0) = M_1(2\pi)$

Таким образом, интервал для $t$, на котором выполняется неравенство:

$$\pi + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \quad \frac{3\pi}{2} + 2\pi n < t_2 < 2\pi + 2\pi n$$

4. Ответ:

Интервал для $t$:

$$\pi + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \quad \frac{3\pi}{2} + 2\pi n < t_2 < 2\pi + 2\pi n$$

г) $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \geq 0$

1. Общая информация:

Неравенство $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \geq 0$ можно переписать как:

$$\frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 1 \geq 0$$

Это неравенство всегда выполняется, но с условием, что $\cos t \neq 0$ и $\sin t \neq 0$.

2. Решение:

• $\cos t \neq 0$, что означает, что углы $t \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$
• $\sin t \neq 0$, что означает, что углы $t \neq 0, \pi, 2\pi, \dots$

Таким образом, подходящие точки:

• $M_1(0; 1) = M_1\left(\frac{\pi}{2}\right)$
• $M_2(0; -1) = M_2\left(\frac{3\pi}{2}\right)$
• $M_3(1; 0) = M_3(0)$
• $M_4(-1; 0) = M_4(\pi)$

3. Решение:

Интервал для $t$, где выполняется неравенство $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t \geq 0$:

$$t \neq \frac{\pi n}{2} \quad \text{для всех целых} \quad n.$$

4. Ответ:

Интервал для $t$:

$$t \neq \frac{\pi n}{2}.$$

$$t \neq \frac{\pi n}{2}.$$