ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $1 < \sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$;

б) $2<2{\sin }^{2}1,2+\cos 1,2<\frac{17}{8}$

а) $1 < \sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$;

Выведем тождество:

$$\cos^2 t = \cos^2 t + \sin^2 t — \sin^2 t = 1 — \sin^2 t;$$

Пусть $x = \sin 1$, тогда неравенство примет вид:

$$1 < x + 1 — x^2 < 1,25;$$

Точка 1 располагается в I четверти:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2};$$ $$0 < \sin 1 < 1;$$ $$0 < x < 1;$$ $$\sin 1 \neq \sin \frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad \sin 1 \neq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{1}{2};$$

Докажем левую часть неравенства:

$$(x + 1 — x^2) — 1 = x — x^2 = x(1 — x) > 0;$$ $$x + 1 — x^2 > 1;$$

Докажем правую часть неравенства:

$$1,25 — (x + 1 — x^2) = 0,25 — x + x^2 = \left( \frac{1}{2} — x \right)^2 > 0;$$ $$x + 1 — x^2 < 1,25;$$

Оба неравенства доказаны.

б) $2 < 2 \sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$;

Выведем тождество:

$$\sin^2 t = \sin^2 t + \cos^2 t — \cos^2 t = 1 — \cos^2 t;$$

Пусть $x = \cos 1,2$, тогда неравенство примет вид:

$$2 < 2(1 — x^2) + x < \frac{17}{8};$$ $$2 < 2 — 2x^2 + x < \frac{17}{8};$$

Точка 1,2 располагается в I четверти:

$$0 < 1,2 < \frac{\pi}{2};$$ $$0 < \cos 1,2 < 1;$$ $$0 < x < 1;$$ $$\sin 1 \neq \sin \frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad \sin 1 \neq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{1}{2};$$

Докажем левую часть неравенства:

$$(2 — 2x^2 + x) — 2 = x — 2x^2 = x(1 — 2x) > 0;$$ $$2 — 2x^2 + x > 2;$$

Докажем правую часть неравенства:

$$\frac{17}{8} — (2 — 2x^2 + x) = 2x^2 — x + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \left( 2x — \frac{1}{2} \right)^2 > 0;$$ $$2 — 2x^2 + x < \frac{17}{8};$$

Оба неравенства доказаны.

а) Доказать, что $1 < \sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$

1. Исходные данные:

Необходимо доказать, что для угла $t = 1$:

$$1 < \sin 1 + \cos^2 1 < 1,25.$$

2. Выведение тождества:

Используем основное тождество для тригонометрических функций:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t.$$

Это тождество помогает преобразовать выражение для $\cos^2 1$ через $\sin^2 1$. Таким образом:

$$\cos^2 1 = 1 — \sin^2 1.$$

3. Подстановка в неравенство:

Подставим полученное выражение для $\cos^2 1$ в исходное неравенство:

$$1 < \sin 1 + (1 — \sin^2 1) < 1,25.$$

Упростим это:

$$1 < \sin 1 + 1 — \sin^2 1 < 1,25.$$ $$2 — \sin^2 1 < 1,25 \quad \text{и} \quad 2 — \sin^2 1 > 1.$$

Преобразуем оба неравенства:

$$\sin^2 1 > 1 \quad \text{и} \quad \sin^2 1 < 1.$$

4. Докажем левую часть неравенства:

Нам нужно доказать, что:

$$(x + 1 — x^2) — 1 = x — x^2 = x(1 — x) > 0.$$

где $x = \sin 1$.

5. Докажем правую часть неравенства:

Следующая проверка будет производиться аналогично:

$$1,25 — (x + 1 — x^2) = 0,25 — x + x^2 = \left( \frac{1}{2} — x \right)^2 > 0.$$

6. Заключение:

Таким образом, обе части неравенства доказаны.

б) Доказать, что $2 < 2 \sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$

1. Исходные данные:

Необходимо доказать, что для угла $t = 1,2$:

$$2 < 2 \sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}.$$

2. Выведение тождества:

Используем основное тождество для тригонометрических функций:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t.$$

Подставляем это в выражение для $2 \sin^2 1,2$:

$$2 \sin^2 1,2 = 2(1 — \cos^2 1,2) = 2 — 2 \cos^2 1,2.$$

3. Подстановка в неравенство:

Теперь подставим выражение для $\sin^2 1,2$ в исходное неравенство:

$$2 < 2(1 — x^2) + x < \frac{17}{8}.$$

где $x = \cos 1,2$. Упростим:

$$2 < 2 — 2x^2 + x < \frac{17}{8}.$$

4. Докажем левую часть неравенства:

Нам нужно доказать, что:

$$(2 — 2x^2 + x) — 2 = x — 2x^2 = x(1 — 2x) > 0.$$

Таким образом, левую часть неравенства мы доказали.

5. Докажем правую часть неравенства:

Следующую часть проверяем следующим образом:

$$\frac{17}{8} — (2 — 2x^2 + x) = 2x^2 — x + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \left( 2x — \frac{1}{2} \right)^2 > 0.$$

6. Заключение:

Обе части неравенства доказаны.

Итоговое решение:

а) $1 < \sin 1 + \cos^2 1 < 1,25$: доказано через тождества и проверку неравенств.

б) $2 < 2 \sin^2 1,2 + \cos 1,2 < \frac{17}{8}$: доказано через тождества и проверку неравенств.