ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение

$$x^4-4x^3+4x^2+{\cos }^2\frac{3\pi x}{4}=0$$

Решить уравнение:

$$x^4 — 4x^3 + 4x^2 + \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0;$$ $$x^2(x^2 — 4x + 4) + \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0;$$ $$x^2(x-2)^2 + \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0;$$ $$\begin{cases} x^2(x-2)^2 = 0 \\ \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0 \end{cases};$$

Решим первое уравнение:

$$x^2(x-2)^2 = 0;$$ $$x(x-2) = 0;$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 2;$$

Подставим полученные значения $x$:

$$\cos^2 \frac{3\pi \cdot 0}{4} = \cos^2 0 = 1^2 = 1;$$ $$\cos^2 \frac{3\pi \cdot 2}{4} = \cos^2 \frac{6\pi}{4} = \cos^2 \frac{3\pi}{2} = 0^2 = 0;$$

Ответ: $x = 2$.

Уравнение, которое необходимо решить:

$$x^4 — 4x^3 + 4x^2 + \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0.$$

Шаг 1. Преобразование уравнения

Прежде чем решать это уравнение, заметим, что его можно привести к более простому виду, выделив квадратные выражения. Рассмотрим первые три слагаемых:

$$x^4 — 4x^3 + 4x^2.$$

Заметим, что это выражение можно представить как полный квадрат:

$$x^4 — 4x^3 + 4x^2 = x^2(x^2 — 4x + 4) = x^2(x — 2)^2.$$

Таким образом, исходное уравнение можно записать в следующем виде:

$$x^2(x — 2)^2 + \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0.$$

Шаг 2. Разделение уравнения на два уравнения

Теперь рассмотрим это уравнение как систему из двух частей:

$$\begin{cases} x^2(x — 2)^2 = 0 \\ \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0 \end{cases}$$

Решим каждое из этих уравнений по отдельности.

Шаг 3. Решение первого уравнения $x^2(x — 2)^2 = 0$

Это уравнение представляет собой произведение двух множителей. Процесс решения будет следующим:

1. $x^2 = 0$ дает корень $x = 0$.
2. $(x — 2)^2 = 0$ дает корень $x = 2$.

Таким образом, первое уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Шаг 4. Решение второго уравнения $\cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0$

Чтобы решить это уравнение, рассмотрим следующее:

$$\cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos \frac{3\pi x}{4} = 0.$$

Косинус равен нулю, когда аргумент косинуса равен нечетному числу $\frac{\pi}{2}$, то есть:

$$\frac{3\pi x}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Решим это уравнение относительно $x$:

$$\frac{3\pi x}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Rightarrow \quad 3x = 2 + 4k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2 + 4k}{3}.$$

Теперь подставим разные значения для $k$, чтобы найти возможные значения для $x$.

• Для $k = 0$:

  $$x = \frac{2 + 4(0)}{3} = \frac{2}{3}.$$

• Для $k = 1$:

  $$x = \frac{2 + 4(1)}{3} = \frac{6}{3} = 2.$$

• Для $k = -1$:

  $$x = \frac{2 + 4(-1)}{3} = \frac{-2}{3}.$$

Таким образом, для уравнения $\cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0$ возможны следующие значения $x$: $x = \frac{2}{3}, x = 2, x = -\frac{2}{3}$.

Шаг 5. Объединение решений

Мы нашли два уравнения, каждое из которых имеет свои корни.

1. Уравнение $x^2(x — 2)^2 = 0$ даёт корни $x = 0$ и $x = 2$.
2. Уравнение $\cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0$ даёт корни $x = \frac{2}{3}, x = 2, x = -\frac{2}{3}$.

Теперь объединяем все найденные корни и проверяем, какие из них удовлетворяют обоим уравнениям. Единственный корень, который удовлетворяет обеим частям системы, это $x = 2$.

Шаг 6. Ответ

Таким образом, решение уравнения:

$$x^4 — 4x^3 + 4x^2 + \cos^2 \frac{3\pi x}{4} = 0$$

Ответ:

$$\boxed{x = 2}.$$