ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

а) $\cos 2t$, если $t = \frac{\pi}{2}$;

б) $\sin \frac{t}{2}$, если $t = -\frac{\pi}{3}$;

в) $\sin^2 t — \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{6}$

Найти значение выражения:

а) $\cos 2t$, если $t = \frac{\pi}{2}$;

$$\cos 2t = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \cos \pi = -1;$$

Ответ: $-1$.

б) $\sin \frac{t}{2}$, если $t = -\frac{\pi}{3}$;

$$\sin \frac{t}{2} = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-0,5$.

в) $\sin^2 t — \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$;

$$\sin^2 t — \cos^2 t = \sin^2 \frac{\pi}{4} — \cos^2 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 — \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 0;$$

Ответ: $0$.

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{6}$;

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1;$$

Ответ: $1$.

а) $\cos 2t$, если $t = \frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Подставляем значение $t = \frac{\pi}{2}$

Мы должны найти значение $\cos 2t$ при $t = \frac{\pi}{2}$. Для этого подставим $t = \frac{\pi}{2}$ в выражение:

$$\cos 2t = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right)$$

Шаг 2: Упрощаем выражение

Теперь, умножим $2 \cdot \frac{\pi}{2}$, получаем:

$$\cos 2t = \cos \pi$$

Шаг 3: Используем стандартное значение для $\cos \pi$

Из стандартных значений косинуса:

$$\cos \pi = -1$$

Ответ:

$$-1$$

б) $\sin \frac{t}{2}$, если $t = -\frac{\pi}{3}$

Шаг 1: Подставляем значение $t = -\frac{\pi}{3}$

Нам нужно найти значение $\sin \frac{t}{2}$ при $t = -\frac{\pi}{3}$. Подставим $t = -\frac{\pi}{3}$ в выражение:

$$\sin \frac{t}{2} = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2} \right)$$

Шаг 2: Умножаем $t$ на $\frac{1}{2}$

Теперь умножим $-\frac{\pi}{3}$ на $\frac{1}{2}$:

$$\sin \frac{t}{2} = \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 3: Используем свойство синуса

Мы знаем, что $\sin(-x) = -\sin(x)$, поэтому:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6}$$

Шаг 4: Используем стандартное значение для $\sin \frac{\pi}{6}$

Из таблицы стандартных значений синуса:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Следовательно:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$-0,5$$

в) $\sin^2 t — \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Подставляем значение $t = \frac{\pi}{4}$

Нам нужно найти значение $\sin^2 t — \cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{4}$. Подставим $t = \frac{\pi}{4}$ в выражение:

$$\sin^2 t — \cos^2 t = \sin^2 \frac{\pi}{4} — \cos^2 \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Используем стандартные значения для $\sin \frac{\pi}{4}$ и $\cos \frac{\pi}{4}$

Из таблицы стандартных значений:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Теперь подставим эти значения:

$$\sin^2 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$\cos^2 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Подставляем в выражение

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$$\sin^2 \frac{\pi}{4} — \cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = 0$$

Ответ:

$$0$$

г) $\sin^2 t + \cos^2 t$, если $t = \frac{\pi}{6}$

Шаг 1: Подставляем значение $t = \frac{\pi}{6}$

Нам нужно найти значение $\sin^2 t + \cos^2 t$ при $t = \frac{\pi}{6}$. Подставим $t = \frac{\pi}{6}$ в выражение:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = \sin^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2: Используем стандартные значения для $\sin \frac{\pi}{6}$ и $\cos \frac{\pi}{6}$

Из таблицы стандартных значений:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь подставим эти значения:

$$\sin^2 \frac{\pi}{6} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$ $$\cos^2 \frac{\pi}{6} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}$$

Шаг 3: Подставляем в выражение

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$$\sin^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$$

Ответ:

$$1$$

Итоговые ответы:

а) $-1$
б) $-0,5$
в) $0$
г) $1$