ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 13.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\sin }^2(1,5+32\pi )+{\cos }^{2}1,5+\cos (-\frac{\pi }{4})+\sin (-\frac{\pi }{6})$

б) ${\cos }^2(\frac{\pi }{8}+4\pi )+{\sin }^2(\frac{\pi }{8}-44\pi )$

а) $\sin^2(1,5 + 32\pi) + \cos^2 1,5 + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) =$

$$= (\sin^2 1,5 + \cos^2 1,5) + \cos\frac{\pi}{4} — \sin\frac{\pi}{6} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2}(\sqrt{2} + 1)$.

б) $\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{8} — 44\pi\right) = \cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8} = 1;$

Ответ: 1.

а) $\sin^2(1,5 + 32\pi) + \cos^2 1,5 + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Шаг 1: Разбираем $\sin^2(1,5 + 32\pi)$

Мы видим, что $1,5 + 32\pi$ — это угол, в который входит целое количество полных оборотов на окружности (32 оборота, каждый по $2\pi$). Поскольку $\sin(x)$ и $\cos(x)$ имеют периодичность $2\pi$, угол $1,5 + 32\pi$ эквивалентен углу $1,5$, то есть:

$$\sin(1,5 + 32\pi) = \sin 1,5$$

Следовательно:

$$\sin^2(1,5 + 32\pi) = \sin^2 1,5$$

Шаг 2: Применяем идентичность Пифагора для $\sin^2 1,5 + \cos^2 1,5$

По тригонометрической идентичности для любого угла:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Таким образом:

$$\sin^2 1,5 + \cos^2 1,5 = 1$$

Шаг 3: Разбираем $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Используем свойство косинуса, что $\cos(-x) = \cos(x)$, следовательно:

$$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$$

Из стандартных значений:

$$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Разбираем $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$

Используем свойство синуса, что $\sin(-x) = -\sin(x)$, следовательно:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6}$$

Из стандартных значений:

$$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Подставляем все значения

Теперь подставим все полученные значения в исходное выражение:

$$\sin^2(1,5 + 32\pi) + \cos^2 1,5 + \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$ $$= 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{1}{2}$$

Шаг 6: Упрощаем выражение

Приводим подобные члены:

$$= \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{1}{2} + 1$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(1 — \frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$$

Теперь можно вынести общий множитель $\frac{1}{2}$:

$$= \frac{1}{2}(\sqrt{2} + 1)$$

Ответ:

$$\frac{1}{2}(\sqrt{2} + 1)$$

б) $\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{8} — 44\pi\right)$

Шаг 1: Разбираем $\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right)$

Как и в предыдущем примере, учитывая периодичность функции косинуса, угол $\frac{\pi}{8} + 4\pi$ эквивалентен углу $\frac{\pi}{8}$, поскольку $4\pi$ — это целое количество оборотов. Таким образом:

$$\cos\left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right) = \cos\frac{\pi}{8}$$

Следовательно:

$$\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + 4\pi\right) = \cos^2\frac{\pi}{8}$$

Шаг 2: Разбираем $\sin^2\left(\frac{\pi}{8} — 44\pi\right)$

Аналогично, угол $\frac{\pi}{8} — 44\pi$ эквивалентен углу $\frac{\pi}{8}$, так как $-44\pi$ — это множество полных оборотов на окружности. Таким образом:

$$\sin\left(\frac{\pi}{8} — 44\pi\right) = \sin\frac{\pi}{8}$$

Следовательно:

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{8} — 44\pi\right) = \sin^2\frac{\pi}{8}$$

Шаг 3: Используем тригонометрическую идентичность

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8}$$

Из тригонометрической идентичности $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$$\cos^2\frac{\pi}{8} + \sin^2\frac{\pi}{8} = 1$$

Ответ:

$$1$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{1}{2}(\sqrt{2} + 1)$
б) $1$