ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$(3\sin t+4\cos t{)}^2+(4\sin t-3\cos t{)}^2$$

б)

$$(\mathrm{tg}t+\mathrm{ctg}t{)}^2-(\mathrm{tg}t-\mathrm{ctg}t{)}^2$$

в)

$$\sin t\cos t\cdot (\mathrm{tg}t+\mathrm{ctg}t)$$

г)

$${\sin }^{2}t\cdot {\cos }^{2}t\cdot ({\mathrm{tg}}^{2}t+{\mathrm{ctg}}^{2}t+2)$$

Упростить выражение:

а)

$$(3 \sin t + 4 \cos t)^2 + (4 \sin t — 3 \cos t)^2 =$$ $$= (9 \sin^2 t + 16 \cos^2 t + 24 \sin t \cos t) + (16 \sin^2 t + 9 \cos^2 t — 24 \sin t \cos t) =$$ $$= 25 \sin^2 t + 25 \cos^2 t = 25 (\sin^2 t + \cos^2 t) = 25;$$

Ответ: 25.

б)

$$(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 — (\operatorname{tg} t — \operatorname{ctg} t)^2 =$$ $$= (\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t) — (\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t — 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t) =$$ $$= 4 \cdot \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 4 \cdot 1 = 4;$$

Ответ: 4.

в)

$$\sin t \cos t \cdot (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) = \sin t \cos t \cdot \left( \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} \right) = \sin^2 t + \cos^2 t = 1;$$

Ответ: 1.

г)

$$\sin^2 t \cdot \cos^2 t \cdot (\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2) = \sin^2 t \cdot \cos^2 t \cdot \left( \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 2 \right) =$$ $$= \sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1^2 = 1;$$

Ответ: 1.

а)

Упростить:

$$(3 \sin t + 4 \cos t)^2 + (4 \sin t — 3 \cos t)^2$$

Шаг 1. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

$$(3 \sin t + 4 \cos t)^2 = 9 \sin^2 t + 24 \sin t \cos t + 16 \cos^2 t$$

Шаг 2. Раскроем вторую скобку по формуле квадрата разности:

$$(4 \sin t — 3 \cos t)^2 = 16 \sin^2 t — 24 \sin t \cos t + 9 \cos^2 t$$

Шаг 3. Складываем:

$$(9 \sin^2 t + 16 \cos^2 t + 24 \sin t \cos t) + (16 \sin^2 t + 9 \cos^2 t — 24 \sin t \cos t)$$

Шаг 4. Группируем подобные:

• $\sin^2 t$: $9 + 16 = 25 \sin^2 t$
• $\cos^2 t$: $16 + 9 = 25 \cos^2 t$
• $\sin t \cos t$: $+24 — 24 = 0$

Итак:

$$= 25 \sin^2 t + 25 \cos^2 t$$

Шаг 5. Вынесем 25 за скобки:

$$= 25 (\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Шаг 6. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Итог:

$$= 25 \cdot 1 = 25$$

Ответ: $\boxed{25}$

б)

Упростить:

$$(\tg t + \ctg t)^2 — (\tg t — \ctg t)^2$$

Шаг 1. Используем формулу:

$$(a + b)^2 — (a — b)^2 = 4ab$$

Тогда:

$$(\tg t + \ctg t)^2 — (\tg t — \ctg t)^2 = 4 \cdot \tg t \cdot \ctg t$$

Шаг 2. Выразим:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Шаг 3. Перемножим:

$$\tg t \cdot \ctg t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 1$$

Шаг 4. Подставим:

$$4 \cdot 1 = 4$$

Ответ: $\boxed{4}$

в)

Упростить:

$$\sin t \cos t \cdot (\tg t + \ctg t)$$

Шаг 1. Подставим значения:

$$= \sin t \cos t \cdot \left( \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} \right)$$

Шаг 2. Распишем умножение на каждое слагаемое:

$$= \sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} + \sin t \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t}$$

Шаг 3. Упростим каждое выражение:

• $\sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = \sin^2 t$
• $\sin t \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = \cos^2 t$

Шаг 4. Складываем:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

г)

Упростить:

$$\sin^2 t \cdot \cos^2 t \cdot (\tg^2 t + \ctg^2 t + 2)$$

Шаг 1. Подставим значения:

$$\tg^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}, \quad \ctg^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$

Тогда выражение:

$$= \sin^2 t \cdot \cos^2 t \cdot \left( \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + 2 \right)$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$= \sin^2 t \cdot \cos^2 t \cdot \left( \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \right) + \sin^2 t \cdot \cos^2 t \cdot \left( \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \right) + \sin^2 t \cdot \cos^2 t \cdot 2$$

Шаг 3. Упростим каждое слагаемое:

• Первое: $\sin^4 t$
• Второе: $\cos^4 t$
• Третье: $2 \sin^2 t \cos^2 t$

Шаг 4. Всё вместе:

$$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t$$

Шаг 5. Узнаем формулу:

Это полный квадрат:

$$(\sin^2 t + \cos^2 t)^2$$

Поскольку:

$$(\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = \sin^4 t + 2 \sin^2 t \cos^2 t + \cos^4 t$$

Шаг 6. Подставим:

$$= (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1^2 = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$