ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \sin^2 t;$$

б)

$$\frac{1 + \operatorname{tg} t}{1 + \operatorname{ctg} t} = \operatorname{tg} t;$$

в)

$$\frac{\operatorname{ctg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \cos^2 t;$$

г)

$$\frac{1 — \operatorname{ctg} t}{1 — \operatorname{tg} t} = -\operatorname{ctg} t;$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \sin^2 t;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\sin t}{\cos t} : \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t} =$$ $$= \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t \cdot \cos t}{\sin^2 t + \cos^2 t} = \frac{\sin t \cdot \sin t}{1} = \sin^2 t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{1 + \operatorname{tg} t}{1 + \operatorname{ctg} t} = \operatorname{tg} t;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{1 + \operatorname{tg} t}{1 + \operatorname{ctg} t} = \frac{1 + \frac{\sin t}{\cos t}}{1 + \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\frac{\cos t + \sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t + \cos t}{\sin t}} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t}{\cos t + \sin t} =$$ $$= \frac{\sin t}{\cos t} = \operatorname{tg} t;$$

Тождество доказано.

в)

$$\frac{\operatorname{ctg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \cos^2 t;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{\operatorname{ctg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\cos t}{\sin t} : \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\sin t \cdot \cos t} =$$ $$= \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t \cdot \cos t}{\cos^2 t + \sin^2 t} = \frac{\cos t \cdot \cos t}{1} = \cos^2 t;$$

Тождество доказано.

г)

$$\frac{1 — \operatorname{ctg} t}{1 — \operatorname{tg} t} = -\operatorname{ctg} t;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{1 — \operatorname{ctg} t}{1 — \operatorname{tg} t} = \frac{1 — \frac{\cos t}{\sin t}}{1 — \frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{\frac{\sin t — \cos t}{\sin t}}{\frac{\cos t — \sin t}{\cos t}} = \frac{\sin t — \cos t}{\sin t} \cdot \frac{\cos t}{\cos t — \sin t} =$$ $$= \frac{-(\cos t — \sin t)}{\sin t} \cdot \frac{\cos t}{\cos t — \sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\operatorname{ctg} t;$$

Тождество доказано.

а)

Доказать:

$$\frac{\operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \sin^2 t$$

Шаг 1. Распишем тангенс и котангенс через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Шаг 2. Подставим в выражение:

$$\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}}$$

Шаг 3. Найдём общий знаменатель в сложении:

$$\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t}$$

Шаг 4. Подставим обратно:

$$\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t}}$$

Шаг 5. Деление заменим на умножение на обратную дробь:

$$= \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t \cdot \cos t}{\sin^2 t + \cos^2 t}$$

Шаг 6. Сократим $\cos t$ и перемножим:

$$= \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t}$$

Шаг 7. Используем основное тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow \frac{\sin^2 t}{1} = \sin^2 t$$

Тождество доказано.

б)

Доказать:

$$\frac{1 + \operatorname{tg} t}{1 + \operatorname{ctg} t} = \operatorname{tg} t$$

Шаг 1. Подставим:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$ $$\frac{1 + \frac{\sin t}{\cos t}}{1 + \frac{\cos t}{\sin t}}$$

Шаг 2. Приведём числитель и знаменатель к общим дробям:

Числитель:

$$1 + \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\cos t + \sin t}{\cos t}$$

Знаменатель:

$$1 + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin t + \cos t}{\sin t}$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{\frac{\cos t + \sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t + \cos t}{\sin t}}$$

Шаг 4. Деление дробей — умножение на обратную:

$$= \frac{\cos t + \sin t}{\cos t} \cdot \frac{\sin t}{\sin t + \cos t}$$

Шаг 5. Сократим $\cos t + \sin t$ (оно одинаково в числителе и знаменателе):

$$= \frac{\sin t}{\cos t} = \operatorname{tg} t$$

Тождество доказано.

в)

Доказать:

$$\frac{\operatorname{ctg} t}{\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t} = \cos^2 t$$

Шаг 1. Подставим:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}, \quad \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$$ $$\frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}}$$

Шаг 2. Общий знаменатель в сумме:

$$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t}$$

Шаг 3. Запишем:

$$\frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t}} = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t \cdot \cos t}{\sin^2 t + \cos^2 t}$$

Шаг 4. Перемножим:

$$= \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t}$$

Шаг 5. Используем тождество:

$$= \frac{\cos^2 t}{1} = \cos^2 t$$

Тождество доказано.

г)

Доказать:

$$\frac{1 — \operatorname{ctg} t}{1 — \operatorname{tg} t} = -\operatorname{ctg} t$$

Шаг 1. Подставим:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}, \quad \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$$ $$\frac{1 — \frac{\cos t}{\sin t}}{1 — \frac{\sin t}{\cos t}}$$

Шаг 2. Приведём к общим знаменателям:

Числитель:

$$1 — \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin t — \cos t}{\sin t}$$

Знаменатель:

$$1 — \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\cos t — \sin t}{\cos t}$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{\frac{\sin t — \cos t}{\sin t}}{\frac{\cos t — \sin t}{\cos t}} = \frac{\sin t — \cos t}{\sin t} \cdot \frac{\cos t}{\cos t — \sin t}$$

Шаг 4. Заметим:

$$\sin t — \cos t = -(\cos t — \sin t)$$

Подставим:

$$= \frac{- (\cos t — \sin t)}{\sin t} \cdot \frac{\cos t}{\cos t — \sin t}$$

Шаг 5. Сокращаем $(\cos t — \sin t)$:

$$= -\frac{\cos t}{\sin t} = -\operatorname{ctg} t$$

Тождество доказано.