ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\cos t=0,8$, $0<t<\frac{\pi }{2}$;

б) $\cos t=-\frac{5}{13}$, $\frac{\pi }{2}<t<\pi$;

в) $\cos t=0,6$, $\frac{3\pi }{2}<t<2\pi$;

г) $\cos t=-\frac{24}{25}$, $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$

Найти значения остальных тригонометрических функций;

Выведем тождество:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1;$$$${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t;$$$$\sin t=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}t};$$

а) $\cos t=0,8$, где $0<t<\frac{\pi }{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\sin t=+\sqrt{1-{\cos }^{2}t}=\sqrt{1-(0,8{)}^2}=\sqrt{1-0,64}=\sqrt{0,36}=0,6;$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{0,6}{0,8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{4}{3};$$

Ответ: $\sin t=0,6;\mathrm{tg}t=\frac{3}{4};\mathrm{ctg}t=\frac{4}{3}$.

б) $\cos t=-\frac{5}{13}$, где $\frac{\pi }{2}<t<\pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\sin t=+\sqrt{1-{\cos }^{2}t}=\sqrt{1-{(-\frac{5}{13})}^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13};$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=\frac{12}{13}:(-\frac{5}{13})=-\frac{12}{13}\cdot \frac{13}{5}=-\frac{12}{5};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=-\frac{5}{12};$$

Ответ: $\sin t=\frac{12}{13};\mathrm{tg}t=-\frac{12}{5};\mathrm{ctg}t=-\frac{5}{12}$.

в) $\cos t=0,6$, где $\frac{3\pi }{2}<t<2\pi$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$\sin t=-\sqrt{1-{\cos }^{2}t}=-\sqrt{1-(0,6{)}^2}=-\sqrt{1-0,36}=-\sqrt{0,64}=-0,8;$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-0,8}{0,6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=-\frac{3}{4};$$

Ответ: $\sin t=-0,8;\mathrm{tg}t=-\frac{4}{3};\mathrm{ctg}t=-\frac{3}{4}$.

г) $\cos t=-\frac{24}{25}$, где $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$\sin t=-\sqrt{1-{\cos }^{2}t}=-\sqrt{1-{(-\frac{24}{25})}^2}=-\sqrt{1-\frac{576}{625}}=$$

$$=-\sqrt{\frac{625}{625}-\frac{576}{625}}=-\sqrt{\frac{49}{625}}=-\frac{7}{25};$$

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}}=-\frac{7}{25}:(-\frac{24}{25})=\frac{7}{25}\cdot \frac{25}{24}=\frac{7}{24};$$

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{24}{7};$$

Ответ: $\sin t=-\frac{7}{25};\mathrm{tg}t=\frac{7}{24};\mathrm{ctg}t=\frac{24}{7}$.

Для начала, давайте вспомним основные тригонометрические тождества, которые помогут нам решать задачи.

Основное тождество для синуса и косинуса:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1.$$

Это тождество всегда верно для любого угла $t$. Мы можем использовать его для выражения синуса через косинус и наоборот. Например, если нам известен косинус угла, мы можем найти синус.

Также, если выразить ${\sin }^{2}t$ через ${\cos }^{2}t$, получаем:

$${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t,$$

что позволяет нам найти синус через косинус, а затем извлечь корень.

Теперь, давайте разберемся, как решать задачи для каждого пункта.

а) $\cos t=0,8$, где $0<t<\frac{\pi }{2}$

Точка $t$ находится в первой четверти, где синус и косинус оба положительные. Это означает, что синус будет положительным.

1. Найдем значение синуса.

Для того чтобы найти синус, используем тождество:

$${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Подставляем значение косинуса:

$${\sin }^{2}t=1-(0,8{)}^2=1-0,64=0,36.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin t=\sqrt{0,36}=0,6.$$

Так как угол $t$ находится в первой четверти, где синус положителен, то:

$$\sin t=0,6.$$

2. Найдем тангенс.

Тангенс выражается как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения:

$$\mathrm{tg}t=\frac{0,6}{0,8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

3. Найдем котангенс.

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin t=0,6;\mathrm{tg}t=\frac{3}{4};\mathrm{ctg}t=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

б) $\cos t=-\frac{5}{13}$, где $\frac{\pi }{2}<t<\pi$

Точка $t$ находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен. Это означает, что синус будет положительным, а косинус отрицательным.

1. Найдем значение синуса.

Используем тождество для синуса:

$${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Подставляем значение косинуса:

$${\sin }^{2}t=1-{(-\frac{5}{13})}^2=1-\frac{25}{169}=\frac{169}{169}-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\mathrm{.}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin t=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}\mathrm{.}$$

Так как угол $t$ находится во второй четверти, где синус положителен, то:

$$\sin t=\frac{12}{13}\mathrm{.}$$

2. Найдем тангенс.

Тангенс выражается как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=\frac{12}{13}:(-\frac{5}{13})=-\frac{12}{5}\mathrm{.}$$

3. Найдем котангенс.

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=-\frac{5}{12}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin t=\frac{12}{13};\mathrm{tg}t=-\frac{12}{5};\mathrm{ctg}t=-\frac{5}{12}\mathrm{.}$$

в) $\cos t=0,6$, где $\frac{3\pi }{2}<t<2\pi$

Точка $t$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а косинус положителен. Это означает, что синус будет отрицательным, а косинус положительным.

1. Найдем значение синуса.

Используем тождество для синуса:

$${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Подставляем значение косинуса:

$${\sin }^{2}t=1-(0,6{)}^2=1-0,36=0,64.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin t=\sqrt{0,64}=0,8.$$

Так как угол $t$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, то:

$$\sin t=-0,8.$$

2. Найдем тангенс.

Тангенс выражается как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения:

$$\mathrm{tg}t=\frac{-0,8}{0,6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

3. Найдем котангенс.

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin t=-0,8;\mathrm{tg}t=-\frac{4}{3};\mathrm{ctg}t=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

г) $\cos t=-\frac{24}{25}$, где $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$

Точка $t$ находится в третьей четверти, где синус и косинус оба отрицательны. Это означает, что синус будет отрицательным, а косинус также отрицателен.

1. Найдем значение синуса.

Используем тождество для синуса:

$${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t\mathrm{.}$$

Подставляем значение косинуса:

$${\sin }^{2}t=1-{(-\frac{24}{25})}^2=1-\frac{576}{625}=\frac{625}{625}-\frac{576}{625}=\frac{49}{625}\mathrm{.}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sin t=\sqrt{\frac{49}{625}}=\frac{7}{25}\mathrm{.}$$

Так как угол $t$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен, то:

$$\sin t=-\frac{7}{25}\mathrm{.}$$

2. Найдем тангенс.

Тангенс выражается как отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}\mathrm{.}$$

Подставляем известные значения:

$$\mathrm{tg}t=\frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}}=\frac{7}{24}\mathrm{.}$$

3. Найдем котангенс.

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{24}{7}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin t=-\frac{7}{25};\mathrm{tg}t=\frac{7}{24};\mathrm{ctg}t=\frac{24}{7}\mathrm{.}$$