ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\mathrm{tg}t=\frac{3}{4}$, $0<t<\frac{\pi }{2}$;

б) $\mathrm{tg}t=2,4$, $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$;

в) $\mathrm{tg}t=-\frac{3}{4}$, $\frac{\pi }{2}<t<\pi$;

г) $\mathrm{tg}t=-\frac{1}{3}$, $\frac{3\pi }{2}<t<2\pi$

Найти значения остальных тригонометрических функций;

Выведем тождество:

$$1+{\mathrm{tg}}^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t};$$$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t};$$$$\cos t=\pm \sqrt{\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}};$$

а) $\mathrm{tg}t=\frac{3}{4}$, где $0<t<\frac{\pi }{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\cos t=+\sqrt{\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}}=\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16}+\frac{9}{16}}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5};$$$$\sin t=\mathrm{tg}t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{4}{3};$$

Ответ: $\sin t=\frac{3}{5};\cos t=\frac{4}{5};\mathrm{ctg}t=\frac{4}{3}$.

б) $\mathrm{tg}t=2,4$, где $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$\mathrm{tg}t=2,4=\frac{240}{100}=\frac{12}{5};$$$$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}}=-\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}}=-\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{25}+\frac{144}{25}}}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13};$$$$\sin t=\mathrm{tg}t\cdot \cos t=\frac{12}{5}\cdot (-\frac{5}{13})=-\frac{12}{13};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{5}{12};$$

Ответ: $\sin t=-\frac{12}{13};\cos t=-\frac{5}{13};\mathrm{ctg}t=\frac{5}{12}$.

в) $\mathrm{tg}t=-\frac{3}{4}$, где $\frac{\pi }{2}<t<\pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}}=-\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}}=-\sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16}+\frac{9}{16}}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5};$$$$\sin t=\mathrm{tg}t\cdot \cos t=-\frac{3}{4}\cdot (-\frac{4}{5})=\frac{3}{5};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=-\frac{4}{3};$$

Ответ: $\sin t=\frac{3}{5};\cos t=-\frac{4}{5};\mathrm{ctg}t=-\frac{4}{3}$.

г) $\mathrm{tg}t=-\frac{1}{3}$, где $\frac{3\pi }{2}<t<2\pi$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$\cos t=+\sqrt{\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}}=\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{9}{9}+\frac{1}{9}}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10};$$$$\sin t=\mathrm{tg}t\cdot \cos t=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{10};$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=-3;$$

Ответ: $\sin t=-\frac{\sqrt{10}}{10};\cos t=\frac{3\sqrt{10}}{10};\mathrm{ctg}t=-3$.

Для решения задач будем использовать следующие тригонометрические тождества:

Тождество для тангенса:

$$1+{\mathrm{tg}}^{2}t=\frac{1}{{\cos }^{2}t},$$

что следует из основной тригонометрической формулы ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$.

Вычисление косинуса через тангенс:

$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t},$$

откуда:

$$\cos t=\pm \sqrt{\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}},$$

знак выбирается в зависимости от четверти, в которой находится угол $t$.

Вычисление синуса через тангенс и косинус:
Синус можно найти, используя:

$$\sin t=\mathrm{tg}t\cdot \cos t\mathrm{.}$$

Котангенс:
Котангенс выражается как обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}\mathrm{.}$$

а) $\mathrm{tg}t=\frac{3}{4}$, где $0<t<\frac{\pi }{2}$

Точка $t$ находится в первой четверти, где и синус, и косинус положительные. Это значит, что косинус и синус будут положительными числами.

1. Найдем значение косинуса:

Для этого используем формулу для косинуса через тангенс:

$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}\mathrm{.}$$

Подставляем $\mathrm{tg}t=\frac{3}{4}$:

$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}=\frac{1}{\frac{25}{16}}=\frac{16}{25}\mathrm{.}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\mathrm{.}$$

Так как угол $t$ находится в первой четверти, где косинус положителен, то:

$$\cos t=\frac{4}{5}\mathrm{.}$$

2. Найдем значение синуса:

Синус можно найти через тангенс и косинус:

$$\sin t=\mathrm{tg}t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}\mathrm{.}$$

3. Найдем значение котангенса:

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin t=\frac{3}{5};\cos t=\frac{4}{5};\mathrm{ctg}t=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

б) $\mathrm{tg}t=2,4$, где $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$

Точка $t$ находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Это означает, что и синус, и косинус будут отрицательными числами.

1. Найдем значение косинуса:

Используем формулу для косинуса:

$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}\mathrm{.}$$

Подставляем $\mathrm{tg}t=2,4$:

$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{(2,4)}^2}=\frac{1}{1+5,76}=\frac{1}{6,76}\mathrm{.}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{6,76}}=-\frac{1}{\sqrt{6,76}}\approx -\frac{1}{2,60}=-\frac{5}{13}\mathrm{.}$$

Знак отрицательный, так как угол $t$ находится в третьей четверти.

2. Найдем значение синуса:

Синус можно найти через тангенс и косинус:

$$\sin t=\mathrm{tg}t\cdot \cos t=2,4\cdot (-\frac{5}{13})=-\frac{12}{13}\mathrm{.}$$

3. Найдем значение котангенса:

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=\frac{5}{12}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin t=-\frac{12}{13};\cos t=-\frac{5}{13};\mathrm{ctg}t=\frac{5}{12}\mathrm{.}$$

в) $\mathrm{tg}t=-\frac{3}{4}$, где $\frac{\pi }{2}<t<\pi$

Точка $t$ находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

1. Найдем значение косинуса:

Используем формулу для косинуса:

$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}\mathrm{.}$$

Подставляем $\mathrm{tg}t=-\frac{3}{4}$:

$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{(-\frac{3}{4})}^2}=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}=\frac{1}{\frac{25}{16}}=\frac{16}{25}\mathrm{.}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\mathrm{.}$$

Знак отрицательный, так как угол $t$ находится во второй четверти.

2. Найдем значение синуса:

Синус можно найти через тангенс и косинус:

$$\sin t=\mathrm{tg}t\cdot \cos t=-\frac{3}{4}\cdot (-\frac{4}{5})=\frac{3}{5}\mathrm{.}$$

3. Найдем значение котангенса:

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin t=\frac{3}{5};\cos t=-\frac{4}{5};\mathrm{ctg}t=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

г) $\mathrm{tg}t=-\frac{1}{3}$, где $\frac{3\pi }{2}<t<2\pi$

Точка $t$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, а косинус положителен.

1. Найдем значение косинуса:

Используем формулу для косинуса:

$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^{2}t}\mathrm{.}$$

Подставляем $\mathrm{tg}t=-\frac{1}{3}$:

$${\cos }^{2}t=\frac{1}{1+{(-\frac{1}{3})}^2}=\frac{1}{1+\frac{1}{9}}=\frac{1}{\frac{10}{9}}=\frac{9}{10}\mathrm{.}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\mathrm{.}$$

Знак положительный, так как угол $t$ находится в четвертой четверти.

2. Найдем значение синуса:

Синус можно найти через тангенс и косинус:

$$\sin t=\mathrm{tg}t\cdot \cos t=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{10}\mathrm{.}$$

3. Найдем значение котангенса:

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{1}{\mathrm{tg}t}=-3.$$

Ответ:

$$\sin t=-\frac{\sqrt{10}}{10};\cos t=\frac{3\sqrt{10}}{10};\mathrm{ctg}t=-3.$$