ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Дано: $\cos t = -\frac{5}{13}$, $8,5\pi < t < 9\pi$. Вычислите: $\sin (-t).$

б) Дано: $\sin t = \frac{4}{5}$, где $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$. Вычислите: $\cos (-t)+\sin (t).$

а) $\cos t = -\frac{5}{13}$, где $8,5\pi < t < 9\pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\sin t = +\sqrt{1 — \cos^2 t} = \sqrt{1 — \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$ $$\sin(-t) = -\sin t = -\frac{12}{13};$$

Ответ: $-\frac{12}{13}$.

б) $\sin t = \frac{4}{5}$, где $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\cos t = -\sqrt{1 — \sin^2 t} = -\sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5};$$ $$\cos(-t) + \sin(t) = \cos t — \sin t = -\frac{3}{5} — \frac{4}{5} = -\frac{7}{5} = -1,4;$$

Ответ: $-1,4$.

а) $\cos t = -\frac{5}{13}$, где $8,5\pi < t < 9\pi$.

Нужно найти $\sin(-t)$.

Определение квадранта:
Мы знаем, что угол $t$ лежит в интервале $8,5\pi < t < 9\pi$, что означает, что точка $t$ находится в третьей четверти окружности, поскольку $8\pi = 2 \cdot 4\pi$ — полный круг, и $9\pi$ — это почти два полных оборота. В третьей четверти косинус отрицателен, а синус тоже отрицателен.

Нахождение $\sin t$:

Из известного значения косинуса можно найти синус с использованием основной тригонометрической тождественности:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Подставим значение косинуса:

$$\cos^2 t = \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}.$$

Теперь найдем $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.$$ $$\sin t = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}.$$

$$\sin t = -\frac{12}{13}.$$

Нахождение $\sin(-t)$:

Используем свойство синуса: $\sin(-t) = -\sin t$. Следовательно:

$$\sin(-t) = -\left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{12}{13}.$$

Ответ: $\sin (-t)=\; -$$\frac{12}{13}$$\sin(-t)$$= \frac{12}{13}$.

б) $\sin t = \frac{4}{5}$, где $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$.

Нужно найти $\cos(-t) + \sin(-t)$.

Определение квадранта:
Угол $t$ находится в интервале $\frac{9\pi}{2} < t < 5\pi$, что означает, что точка $t$ находится в третьей четверти окружности, так как $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$ — это почти два полных оборота. В третьей четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Нахождение $\cos t$:

Для нахождения $\cos t$ используем основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t.$$

Подставим значение синуса:

$$\sin^2 t = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}.$$

Теперь найдем $\cos^2 t$:

$$\cos^2 t = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}.$$ $$\cos t = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}.$$

Поскольку угол $t$ лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен, то:

$$\cos t = -\frac{3}{5}.$$

Нахождение $\cos(-t)$ и $\sin(-t)$:

Используем свойства косинуса и синуса:

$$\cos(-t) = \cos t = -\frac{3}{5},$$ $$\sin(-t) = -\sin t = -\frac{4}{5}.$$

Сумма $\cos(-t) + \sin(-t)$:

$$\cos (-t)+\sin (-t)=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{7}{5}\mathrm{}$$$$\mathrm{}$$$$\cos(-t)$$$$+ \sin(-t) = -\frac{3}{5} — \frac{4}{5} = -\frac{7}{5}.$$

Ответ: $\cos (-t)+\sin (-t)=-\; 1,4.\frac{\mathrm{}}{}$

Итог:

а) $\sin (-t)=\; -$$\frac{12}{13}$$\sin(-t)$$= \frac{12}{13}$.

б)