ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Известно, что $\sin t+\cos t=0,8$. Вычислите: $\sin t\cdot \cos \mathrm{t.}$

б) Известно, что $\sin t — \cos t = \frac{1}{3}$. Вычислите: 9$\sin t\cdot \cos t$.

а) $\sin t + \cos t = 0,8$;

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t = 1 + 2 \sin t \cdot \cos t;$$ $$2 \sin t \cdot \cos t = (\sin t + \cos t)^2 — 1;$$ $$\sin t \cdot \cos t = \frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{2};$$ $$\sin t \cdot \cos t = \frac{0,8^2 — 1}{2} = \frac{0,64 — 1}{2} = \frac{-0,36}{2} = -0,18;$$

Ответ: $-0,18$.

б) $\sin t — \cos t = \frac{1}{3}$;

$$(\sin t — \cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t — 2 \sin t \cdot \cos t = 1 — 2 \sin t \cdot \cos t;$$ $$-2 \sin t \cdot \cos t = (\sin t — \cos t)^2 — 1;$$ $$\sin t \cdot \cos t = \frac{1 — (\sin t — \cos t)^2}{2};$$ $$9 \sin t \cdot \cos t = \frac{9 — 9 (\sin t — \cos t)^2}{2};$$ $$9 \sin t \cdot \cos t = \frac{9 — 9 \left( \frac{1}{3} \right)^2}{2} = \frac{9 — 9 \cdot \frac{1}{9}}{2} = \frac{9 — 1}{2} = \frac{8}{2} = 4;$$

Ответ: $4$.

Задача а) $\sin t + \cos t = 0,8$

Шаг 1: Квадрат выражения $\sin t + \cos t$

Мы начинаем с того, что возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$$(\sin t + \cos t)^2 = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cdot \cos t$$

Так как известно, что $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ по основным тригонометрическим тождествам, получаем:

$$(\sin t + \cos t)^2 = 1 + 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 2: Подставляем значение $\sin t + \cos t$

Теперь, по условию задачи, нам известно, что $\sin t + \cos t = 0,8$. Подставляем это значение в выражение, которое мы только что получили:

$$(0,8)^2 = 1 + 2 \sin t \cdot \cos t$$ $$0,64 = 1 + 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 3: Изолируем $\sin t \cdot \cos t$

Теперь нужно решить это уравнение для $\sin t \cdot \cos t$. Для этого вычитаем 1 из обеих сторон уравнения:

$$0,64 — 1 = 2 \sin t \cdot \cos t$$ $$-0,36 = 2 \sin t \cdot \cos t$$

Теперь делим обе стороны уравнения на 2, чтобы найти $\sin t \cdot \cos t$:

$$\sin t \cdot \cos t = \frac{-0,36}{2} = -0,18$$

Ответ:

$$\boxed{-0,18}$$

Задача б) $\sin t — \cos t = \frac{1}{3}$

Шаг 1: Квадрат выражения $\sin t — \cos t$

Возводим в квадрат выражение $\sin t — \cos t$:

$$(\sin t — \cos t)^2 = (\sin^2 t + \cos^2 t) — 2 \sin t \cdot \cos t$$

Поскольку $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ (по основным тригонометрическим тождествам), получаем:

$$(\sin t — \cos t)^2 = 1 — 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 2: Подставляем значение $\sin t — \cos t$

Из условия задачи известно, что $\sin t — \cos t = \frac{1}{3}$. Подставляем это значение:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^2 = 1 — 2 \sin t \cdot \cos t$$ $$\frac{1}{9} = 1 — 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 3: Изолируем $\sin t \cdot \cos t$

Вычитаем 1 из обеих сторон уравнения:

$$\frac{1}{9} — 1 = -2 \sin t \cdot \cos t$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{9} — \frac{9}{9} = -2 \sin t \cdot \cos t$$ $$\frac{-8}{9} = -2 \sin t \cdot \cos t$$

Теперь делим обе стороны уравнения на -2:

$$\sin t \cdot \cos t = \frac{-8}{9} \cdot \frac{1}{-2} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$$

Шаг 4: Находим $9 \sin t \cdot \cos t$

Теперь, чтобы найти $9 \sin t \cdot \cos t$, просто умножаем найденное значение $\sin t \cdot \cos t$ на 9:

$$9 \sin t \cdot \cos t = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$$

Ответ:

$$\boxed{4}$$