ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\sin t+\cos t=0,6$. Вычислите:

а) $\sin^3 t + \cos^3 t$;

б) $\mathrm{tg}t\cdot \sin t+\mathrm{ctg}t\cdot \cos t$.

Известно, что $\sin t + \cos t = 0,6$, найти:

а) $\sin^3 t + \cos^3 t$;

Значение произведения:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t = 1 + 2 \sin t \cdot \cos t;$$ $$2 \sin t \cdot \cos t = (\sin t + \cos t)^2 — 1;$$ $$\sin t \cdot \cos t = \frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{2};$$ $$\sin t \cdot \cos t = \frac{0,6^2 — 1}{2} = \frac{0,36 — 1}{2} = \frac{-0,64}{2} = -0,32;$$

Значение суммы кубов:

$$\sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(\sin^2 t — \sin t \cdot \cos t + \sin^2 t) =$$ $$= (\sin t + \cos t)(1 — \sin t \cdot \cos t) = 0,6 \cdot (1 + 0,32) = 0,6 \cdot 1,32 = 0,792;$$

Ответ: $0,792$.

б) $\operatorname{tg} t \cdot \sin t + \operatorname{ctg} t \cdot \cos t$;

Значение произведения:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t = 1 + 2 \sin t \cdot \cos t;$$ $$2 \sin t \cdot \cos t = (\sin t + \cos t)^2 — 1;$$ $$\sin t \cdot \cos t = \frac{(\sin t + \cos t)^2 — 1}{2};$$ $$\sin t \cdot \cos t = \frac{0,6^2 — 1}{2} = \frac{0,36 — 1}{2} = \frac{-0,64}{2} = -0,32;$$

Значение суммы кубов:

$$\sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(\sin^2 t — \sin t \cdot \cos t + \sin^2 t) =$$ $$= (\sin t + \cos t)(1 — \sin t \cdot \cos t) = 0,6 \cdot (1 + 0,32) = 0,6 \cdot 1,32 = 0,792;$$

Значение выражения:

$$\operatorname{tg} t \cdot \sin t + \operatorname{ctg} t \cdot \cos t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \sin t + \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \cos t = \frac{\sin^2 t}{\cos t} + \frac{\cos^2 t}{\sin t} =$$ $$= \frac{\sin^3 t + \cos^3 t}{\sin t \cdot \cos t} = \frac{0,792}{-0,32} = -2,475;$$

Ответ: $-2,475$.

Известно, что $\sin t + \cos t = 0,6$. Нужно найти:

а) $\sin^3 t + \cos^3 t$;

б) $\operatorname{tg} t \cdot \sin t + \operatorname{ctg} t \cdot \cos t$.

Решение:

а) Найдём $\sin^3 t + \cos^3 t$

1. Используем формулу для суммы кубов:

Для любого $a$ и $b$ существует формула для суммы кубов:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)$$

Подставим $\sin t$ вместо $a$ и $\cos t$ вместо $b$:

$$\sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(\sin^2 t — \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t)$$

2. Подставим известные значения:

Из условия задачи нам известно, что:

$$\sin t + \cos t = 0,6$$

Также, по теореме Пифагора для любого угла:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Таким образом, выражение для $\sin^3 t + \cos^3 t$ можно упростить:

$$\sin^3 t + \cos^3 t = 0,6 \cdot \left( 1 — \sin t \cdot \cos t \right)$$

3. Найдём $\sin t \cdot \cos t$:

Чтобы найти $\sin t \cdot \cos t$, используем следующее:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t$$

Подставим $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и $\sin t + \cos t = 0,6$:

$$(0,6)^2 = 1 + 2 \sin t \cdot \cos t$$ $$0,36 = 1 + 2 \sin t \cdot \cos t$$

Вычитаем 1 с обеих сторон:

$$0,36 — 1 = 2 \sin t \cdot \cos t$$ $$-0,64 = 2 \sin t \cdot \cos t$$

Теперь делим обе стороны на 2:

$$\sin t \cdot \cos t = \frac{-0,64}{2} = -0,32$$

4. Подставим найденное значение в выражение для $\sin^3 t + \cos^3 t$:

Теперь подставим $\sin t \cdot \cos t = -0,32$ в выражение:

$$\sin^3 t + \cos^3 t = 0,6 \cdot \left( 1 — (-0,32) \right) = 0,6 \cdot (1 + 0,32) = 0,6 \cdot 1,32 = 0,792$$

Ответ для части а): $\sin^3 t + \cos^3 t = 0,792$.

б) Найдём $\operatorname{tg} t \cdot \sin t + \operatorname{ctg} t \cdot \cos t$

1. Разделим выражение на две части:

Рассмотрим выражение:

$$\operatorname{tg} t \cdot \sin t + \operatorname{ctg} t \cdot \cos t$$

где:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Тогда:

$$\operatorname{tg} t \cdot \sin t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \sin t = \frac{\sin^2 t}{\cos t}$$

и

$$\operatorname{ctg} t \cdot \cos t = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \cos t = \frac{\cos^2 t}{\sin t}$$

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$$\operatorname{tg} t \cdot \sin t + \operatorname{ctg} t \cdot \cos t = \frac{\sin^2 t}{\cos t} + \frac{\cos^2 t}{\sin t}$$

2. Приведём к общему знаменателю:

Теперь, чтобы объединить дроби, найдём общий знаменатель:

$$\frac{\sin^2 t}{\cos t} + \frac{\cos^2 t}{\sin t} = \frac{\sin^3 t + \cos^3 t}{\sin t \cdot \cos t}$$

3. Подставим найденные значения:

Из предыдущего пункта мы уже нашли, что:

$$\sin^3 t + \cos^3 t = 0,792$$

и

$$\sin t \cdot \cos t = -0,32$$

Подставим эти значения:

$$\operatorname{tg} t \cdot \sin t + \operatorname{ctg} t \cdot \cos t = \frac{0,792}{-0,32} = -2,475$$

Ответ для части б): $\operatorname{tg} t \cdot \sin t + \operatorname{ctg} t \cdot \cos t = -2,475$.

Итоговое решение:

а) $\sin^3 t + \cos^3 t = 0,792$

б) $\operatorname{tg} t \cdot \sin t + \operatorname{ctg} t \cdot \cos t = -2,475$