ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\mathrm{tg}t+\mathrm{ctg}t=2,3$. Вычислите:

а) $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$;

б) ${\mathrm{tg}}^{3}t+{\mathrm{ctg}}^3\mathrm{t.}$

Известно, что $\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = 2,3$, найти:

а) $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$;

$$(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 = \operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2;$$ $$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 — 2;$$ $$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = 2,3^2 — 2 = 5,29 — 2 = 3,29;$$

Ответ: 3,29.

б) $\operatorname{tg}^3 t + \operatorname{ctg}^3 t$;

Значение суммы квадратов:

$$(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 = \operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2;$$ $$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 — 2;$$ $$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = 2,3^2 — 2 = 5,29 — 2 = 3,29;$$

Значение суммы кубов:

$$\operatorname{tg}^3 t + \operatorname{ctg}^3 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)(\operatorname{tg}^2 t — \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t + \operatorname{ctg}^2 t) =$$ $$= (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)(\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t — 1) = 2,3 \cdot (3,29 — 1) = 2,3 \cdot 2,29 = 5,267;$$

Ответ: 5,267.

Известно, что $\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = 2,3$, нужно найти:

а) $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$;

б) $\operatorname{tg}^3 t + \operatorname{ctg}^3 t$.

Часть а) $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$

Шаг 1: Используем формулу для квадрата суммы

Для начала применим формулу для квадрата суммы двух выражений. Мы знаем, что:

$$(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 = \operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t + 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$$

Таким образом, выражение для $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$ можно переписать как:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 — 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$$

Шаг 2: Подставляем известные значения

В задаче нам дано, что $\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = 2,3$. Подставим это значение в нашу формулу:

$$(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t)^2 = 2,3^2 = 5,29$$

Таким образом, выражение для $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$ станет:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = 5,29 — 2 \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$$

Шаг 3: Находим произведение $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$

Теперь нужно найти $\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t$. Мы можем использовать следующее важное соотношение:

$$\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = 1$$

Это следует из того, что $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$, а $\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Перемножив эти выражения, получаем:

$$\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t = \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 1$$

Таким образом, подставляем это значение в предыдущую формулу:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = 5,29 — 2 \cdot 1 = 5,29 — 2 = 3,29$$

Ответ: 3,29.

Часть б) $\operatorname{tg}^3 t + \operatorname{ctg}^3 t$

Шаг 1: Используем формулу для суммы кубов

Для суммы кубов существует стандартная формула:

$$\operatorname{tg}^3 t + \operatorname{ctg}^3 t = (\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) \cdot (\operatorname{tg}^2 t — \operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t + \operatorname{ctg}^2 t)$$

Как видите, нам нужно подставить выражения для суммы и произведения $\operatorname{tg} t$ и $\operatorname{ctg} t$. Мы уже знаем, что:

$$\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t = 2,3$$

Шаг 2: Подставляем известные значения

Теперь, используя формулу для суммы квадратов, мы можем выразить $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t$ как:

$$\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = 3,29$$

Подставим это в формулу для суммы кубов:

$$\operatorname{tg}^3 t + \operatorname{ctg}^3 t = 2,3 \cdot \left( 3,29 — 1 \right) = 2,3 \cdot 2,29$$

Шаг 3: Умножаем и находим результат

Теперь просто умножим:

$$2,3 \cdot 2,29 = 5,267$$

Ответ: 5,267.

Итоговый ответ:

а) $\operatorname{tg}^2 t + \operatorname{ctg}^2 t = 3,29$

б) $\operatorname{tg}^3 t + \operatorname{ctg}^3 t = 5,267$