ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, $\sin t\cdot \cos t=-0,5$. Вычислите:

а) ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t$;

б) $\sin^4 t + \cos^4 t$;

в) $\sin^6 t + \cos^6 t$;

г) $\sin^8 t + \cos^8 t$

Известно, что $\sin t \cdot \cos t = -0,5$, найти:

а) $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$;
Ответ: 1.

б) $\sin^4 t + \cos^4 t$;

$$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1;$$ $$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t;$$ $$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 2 \cdot (-0,5)^2 = 1 — 2 \cdot 0,25 = 1 — 0,5 = 0,5;$$

Ответ: 0,5.

в) $\sin^6 t + \cos^6 t$;

$$\sin^6 t + 3 \sin^4 t \cdot \cos^2 t + 3 \sin^2 t \cdot \cos^4 t + \cos^6 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^3 = 1;$$ $$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 — 3 \sin^4 t \cdot \cos^2 t — 3 \sin^2 t \cdot \cos^4 t;$$ $$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 — 3 \sin^2 t \cdot (\sin t \cdot \cos t)^2 — 3 \cos^2 t \cdot (\sin t \cdot \cos t)^2;$$ $$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 — 3 (\sin^2 t + \cos^2 t)(\sin t \cdot \cos t)^2;$$ $$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 — 3 (\sin t \cdot \cos t)^2;$$ $$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 — 3 \cdot (-0,5)^2 = 1 — 3 \cdot 0,25 = 1 — 0,75 = 0,25;$$

Ответ: 0,25.

г) $\sin^8 t + \cos^8 t$;

Значение суммы четвертых степеней:

$$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1;$$ $$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t;$$ $$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 2 \cdot (-0,5)^2 = 1 — 2 \cdot 0,25 = 1 — 0,5 = 0,5;$$

Значение суммы восьмых степеней:

$$\sin^8 t + \cos^8 t + 2 \sin^4 t \cdot \cos^4 t = (\sin^4 t + \cos^4 t)^2 = 0,5^2 = 0,25;$$ $$\sin^8 t + \cos^8 t = 0,5 — 2 \sin^4 t \cdot \cos^4 t;$$ $$\sin^8 t + \cos^8 t = 0,25 — 2 \cdot (-0,5)^4 = 0,25 — 2 \cdot 0,0625 = 0,25 — 0,125 = 0,125;$$

Ответ: 0,125.

Известно, что $\sin t \cdot \cos t = -0,5$, найти:

а) $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

Это стандартная тригонометрическая идентичность, которая справедлива для всех углов $t$:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Ответ: 1.

б) $\sin^4 t + \cos^4 t$

Для вычисления этого выражения будем использовать известную формулу разложения суммы четвертых степеней:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2 — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t$$

Это выражение основано на разложении квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

В нашем случае $a = \sin^2 t$ и $b = \cos^2 t$, и применяя это к формуле, получаем:

$$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^2$$

Так как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, то:

$$(\sin^2 t + \cos^2 t)^2 = 1^2 = 1$$

Таким образом:

$$\sin^4 t + \cos^4 t + 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t = 1$$

Теперь, используя данное выражение, получаем:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 2 \sin^2 t \cdot \cos^2 t$$

Поскольку нам известно, что $\sin t \cdot \cos t = -0,5$, то:

$$\sin^2 t \cdot \cos^2 t = (-0,5)^2 = 0,25$$

Подставим это в формулу:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = 1 — 2 \cdot 0,25 = 1 — 0,5 = 0,5$$

Ответ: 0,5.

в) $\sin^6 t + \cos^6 t$

Для вычисления $\sin^6 t + \cos^6 t$ будем использовать следующую идентичность:

$$\sin^6 t + \cos^6 t = (\sin^2 t + \cos^2 t)^3 — 3 \sin^2 t \cdot \cos^2 t (\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Давайте разобьем это выражение:

$(\sin^2 t + \cos^2 t)^3$ по определению равно:

$$(\sin^2 t + \cos^2 t)^3 = 1^3 = 1$$

Теперь вычислим выражение $3 \sin^2 t \cdot \cos^2 t (\sin^2 t + \cos^2 t)$. Мы уже знаем, что $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и $\sin^2 t \cdot \cos^2 t = 0,25$, поэтому:

$$3 \sin^2 t \cdot \cos^2 t (\sin^2 t + \cos^2 t) = 3 \cdot 0,25 \cdot 1 = 0,75$$

Теперь подставим эти значения в исходную формулу:

$$\sin^6 t + \cos^6 t = 1 — 0,75 = 0,25$$

Ответ: 0,25.

г) $\sin^8 t + \cos^8 t$

Для вычисления $\sin^8 t + \cos^8 t$ используем аналогичную технику разложения:

Шаг 1 — Рассчитаем $\sin^4 t + \cos^4 t$.

Как мы уже вычислили в пункте (б), мы знаем, что:

$$\sin^4 t + \cos^4 t = 0,5$$

Шаг 2 — Используем разложение суммы восьмых степеней. Воспользуемся идентичностью:

$$\sin^8 t + \cos^8 t + 2 \sin^4 t \cdot \cos^4 t = (\sin^4 t + \cos^4 t)^2$$

Подставляем $\sin^4 t + \cos^4 t = 0,5$ в правую часть:

$$(\sin^4 t + \cos^4 t)^2 = 0,5^2 = 0,25$$

Теперь можем выразить $\sin^8 t + \cos^8 t$:

$$\sin^8 t + \cos^8 t = 0,25 — 2 \sin^4 t \cdot \cos^4 t$$

Шаг 3 — Вычислим $\sin^4 t \cdot \cos^4 t$.

Мы знаем, что $\sin^2 t \cdot \cos^2 t = 0,25$, значит:

$$\sin^4 t \cdot \cos^4 t = (0,25)^2 = 0,0625$$

Шаг 4 — Подставим это в формулу:

$$\sin^8 t + \cos^8 t = 0,25 — 2 \cdot 0,0625 = 0,25 — 0,125 = 0,125$$

Ответ: 0,125.

Итог:

а) $1$

б) $0,5$

в) $0,25$

г) $0,125$

Каждый шаг тщательно проверен и основан на известных тригонометрических идентичностях и вычислениях.