ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sin t + \cos t$, если $\operatorname{tg} t — \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $2 \sin t + \cos t$, если $4 \operatorname{ctg} t + 6 \operatorname{tg} t + 11 = 0$ и $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$

а) $\sin t + \cos t$, если $\operatorname{tg} t — \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Пусть $\operatorname{tg} t = x$, тогда:

$$x — \frac{1}{x} = -\frac{7}{12};$$ $$x^2 — 1 = -\frac{7x}{12};$$ $$12x^2 — 12 = -7x;$$ $$12x^2 + 7x — 12 = 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 12 \cdot 12 = 49 + 576 = 625, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-7 — 25}{2 \cdot 12} = \frac{-32}{24};$$ $$x_2 = \frac{-7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4};$$

Точка $t$ находится в первой четверти, значит:

$$\operatorname{tg} t > 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} t = \frac{3}{4};$$ $$\cos t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{16 + 9}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5};$$

Значение выражения:

$$\sin t + \cos t = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5} = 1,4;$$

Ответ: $1,4$.

б) $2 \sin t + \cos t$, если $4 \operatorname{ctg} t + 6 \operatorname{tg} t + 11 = 0$ и $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$;

Пусть $x = \operatorname{tg} t$, тогда:

$$\frac{4}{x} + 6x + 11 = 0;$$ $$4 + 6x^2 + 11x = 0;$$ $$6x^2 + 11x + 4 = 0;$$ $$D = 11^2 — 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 — 96 = 25, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-11 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3};$$ $$x_2 = \frac{-11 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2};$$

Точка $t$ находится в первой половине II четверти, значит:

$$|\sin t| > |\cos t| \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} = -\frac{4}{3};$$ $$\cos t = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 t}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2}} = -\sqrt{\frac{1}{9 + 16}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5};$$ $$\sin t = \operatorname{tg} t \cdot \cos t = -\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5};$$

Значение выражения:

$$2 \sin t + \cos t = 2 \cdot \frac{4}{5} — \frac{3}{5} = \frac{8}{5} — \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1;$$

Ответ: $1$.

а) $\sin t + \cos t$, если $\operatorname{tg} t — \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{7}{12}$ и $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Исходные данные:

Нам дана формула для тангенса: $\operatorname{tg} t — \frac{1}{\operatorname{tg} t} = -\frac{7}{12}$. Задача — найти выражение $\sin t + \cos t$ при условии, что $0 < t < \frac{\pi}{2}$.

Предположим, что $\operatorname{tg} t = x$, тогда исходная формула принимает вид:

$$x — \frac{1}{x} = -\frac{7}{12}.$$

Умножим обе части на $x$ (при этом $x \neq 0$):

$$x^2 — 1 = -\frac{7x}{12}.$$

Умножим обе части на 12 для избавления от знаменателя:

$$12(x^2 — 1) = -7x \quad \Rightarrow \quad 12x^2 — 12 = -7x.$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$12x^2 + 7x — 12 = 0.$$

Это квадратное уравнение относительно $x$.

Решаем квадратное уравнение:

Для решения уравнения $12x^2 + 7x — 12 = 0$ воспользуемся формулой дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 12$, $b = 7$, $c = -12$.

Подставим значения:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 12 \cdot (-12) = 49 + 576 = 625.$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения:

$$x_1 = \frac{-7 — 25}{2 \cdot 12} = \frac{-32}{24} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}.$$

Мы получили два корня: $x_1 = -\frac{4}{3}$ и $x_2 = \frac{3}{4}$.

Выбираем подходящий корень:

Поскольку $0 < t < \frac{\pi}{2}$, в первой четверти $\operatorname{tg} t > 0$. Следовательно, нам подходит корень $x_2 = \frac{3}{4}$.

Таким образом, $\operatorname{tg} t = \frac{3}{4}$.

Находим $\sin t$ и $\cos t$:

Используем тождество:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}.$$

Также, по основному тригонометрическому тождеству, верно:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Зная, что $\operatorname{tg} t = \frac{3}{4}$, можем записать:

$$\frac{\sin t}{\cos t} = \frac{3}{4}.$$

Пусть $\sin t = 3k$ и $\cos t = 4k$ для некоторого $k$. Подставим эти выражения в основное тригонометрическое тождество:

$$(3k)^2 + (4k)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 9k^2 + 16k^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 25k^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad k^2 = \frac{1}{25}.$$

Таким образом, $k = \frac{1}{5}$.

Следовательно:

$$\sin t = 3k = \frac{3}{5}, \quad \cos t = 4k = \frac{4}{5}.$$

Вычисляем $\sin t + \cos t$:

Теперь, когда мы нашли $\sin t$ и $\cos t$, можем вычислить:

$$\sin t + \cos t = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} = 1,4.$$

Ответ:

$$1,4.$$

б) $2 \sin t + \cos t$, если $4 \operatorname{ctg} t + 6 \operatorname{tg} t + 11 = 0$ и $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$;

Исходные данные:

Нам дана формула для котангенса и тангенса: $4 \operatorname{ctg} t + 6 \operatorname{tg} t + 11 = 0$, и нужно найти выражение $2 \sin t + \cos t$ при условии, что $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$.

Пусть $x = \operatorname{tg} t$, тогда $\operatorname{ctg} t = \frac{1}{x}$, и исходное уравнение принимает вид:

$$4 \cdot \frac{1}{x} + 6x + 11 = 0.$$

Умножим обе части на $x$ (при этом $x \neq 0$):

$$4 + 6x^2 + 11x = 0.$$

Это квадратное уравнение относительно $x$:

$$6x^2 + 11x + 4 = 0.$$

Решаем квадратное уравнение:

Для решения уравнения $6x^2 + 11x + 4 = 0$ находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 6$, $b = 11$, $c = 4$.

Подставим значения:

$$D = 11^2 — 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 — 96 = 25.$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения:

$$x_1 = \frac{-11 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-11 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}.$$

Выбираем подходящий корень:

Учитывая, что $\frac{5\pi}{2} < t < \frac{11\pi}{4}$ (это вторая половина второй четверти), и в этой части угла $\operatorname{tg} t < 0$, выберем корень $x_1 = -\frac{4}{3}$, так как $\operatorname{tg} t = -\frac{4}{3}$.

Находим $\sin t$ и $\cos t$:

Поскольку $\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$, запишем:

$$\frac{\sin t}{\cos t} = -\frac{4}{3}.$$

Пусть $\sin t=$$\mathrm{}$$\sin t = -4k$ и $\cos t=\; -3k$$\cos$$t = 3k$ для некоторого $k$. Подставим эти выражения в основное тригонометрическое тождество:

$$(-4k)^2 + (3k)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 16k^2 + 9k^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 25k^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad k^2 = \frac{1}{25}.$$

Таким образом, $k = \frac{1}{5}$.

Следовательно:

$$\sin t = -4k = -\frac{4}{5}, \quad \cos t = 3k = \frac{3}{5}.$$

Вычисляем $2 \sin t + \cos t$:

Теперь, когда мы нашли $\sin t$ и $\cos t$, вычислим:

$$2 \sin t + \cos t = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + \frac{3}{5} = -\frac{8}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{5}{5} = -1.$$

Ответ:

$$-1.$$