ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Вычислите $\mathrm{tg}t$, если известно, что $5\sin t-{\cos }^{2}t=2,36$ и $\frac{5\pi }{2}<t<3\pi$

б) Вычислите $\mathrm{ctg}t$, если известно, что ${\sin }^{2}t+2\cos t+0,56=0$ и $-\frac{7\pi }{2}<t<-3\pi$

а) $\mathrm{tg}t$, если $5\sin t-{\cos }^{2}t=2,36$ и $\frac{5\pi }{2}<t<3\pi$;

Пусть $x=\sin t$, тогда:

$$5\sin t+1-{\cos }^{2}t=3,36;$$$$5\sin t+{\sin }^{2}t-3,36=0;$$$$x^2+5x-3,36=0;$$$$25x^2+125x-84=0;$$$$D={125}^2+4\cdot 25\cdot 84=15625+8400=24025,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{-125-155}{2\cdot 25}=\frac{-280}{50}=-5,6;$$$$x_2=\frac{-125+155}{2\cdot 25}=\frac{30}{50}=0,6;$$

Точка $t$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\sin t>0\Rightarrow \sin t=0,6;$$$$\cos t=-\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=-\sqrt{1-0,6^2}=-\sqrt{1-0,36}=-\sqrt{0,64}=-0,8;$$$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{0,6}{-0,8}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4};$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б) $\mathrm{ctg}t$, если ${\sin }^{2}t+2\cos t+0,56=0$ и $-\frac{7\pi }{2}<t<-3\pi$;

Пусть $x=\cos t$, тогда:

$$-{\sin }^{2}t-2\cos t-0,56=0;$$$$1-{\sin }^{2}t-2\cos t-1,56=0;$$$${\cos }^{2}t-2\cos t-1,56=0;$$$$x^2-2x-1,56=0;$$$$25x^2-50x-39=0;$$$$D={50}^2+4\cdot 25\cdot 39=2500+3900=6400,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{50-80}{2\cdot 25}=\frac{-30}{50}=-0,6;$$$$x_2=\frac{50+80}{2\cdot 25}=\frac{130}{50}=2,6;$$

Точка $t$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\cos t<0\Rightarrow \cos t=-0,6;$$$$\sin t=+\sqrt{1-{\cos }^{2}t}=\sqrt{1-(-0,6{)}^2}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8;$$$$\mathrm{ctg}t=\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{-0,6}{0,8}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4};$$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

а) $\mathrm{tg}t$, если $5\sin t-{\cos }^{2}t=2,36$ и $\frac{5\pi }{2}<t<3\pi$;

Шаг 1: Введение подстановки.

Для упрощения решения подставим переменную $x=\sin t$. Это удобно, так как у нас есть выражение, содержащее $\sin t$ и ${\cos }^{2}t$. Напомним, что для любого угла $t$ выполняется основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$$

Следовательно, выражение для ${\cos }^{2}t$ можно записать как:

$${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t=1-x^2$$

Шаг 2: Подставляем выражение для ${\cos }^{2}t$ в исходное уравнение.

Исходное уравнение:

$$5\sin t-{\cos }^{2}t=2,36$$

Теперь подставим ${\cos }^{2}t=1-x^2$ в это уравнение:

$$5x-(1-x^2)=2,36$$

Раскрываем скобки:

$$5x-1+x^2=2,36$$

Приводим все к одному уравнению:

$$x^2+5x-1-2,36=0$$$$x^2+5x-3,36=0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Мы получаем квадратное уравнение:

$$x^2+5x-3,36=0$$

Решим его с помощью дискриминанта. В общем виде для уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем случае:

$$a=1,b=5,c=-3,36$$

Подставляем значения в формулу для дискриминанта:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot (-3,36)=25+13,44=38,44$$

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем известные значения:

$$x_1=\frac{-5-\sqrt{38,44}}{2}=\frac{-5-6,2}{2}=\frac{-11,2}{2}=-5,6$$$$x_2=\frac{-5+\sqrt{38,44}}{2}=\frac{-5+6,2}{2}=\frac{1,2}{2}=0,6$$

Шаг 4: Выбираем подходящий корень.

Так как $t$ находится в промежутке $\frac{5\pi }{2}<t<3\pi$, то это интервал, где синус $\sin t$ положителен (вторая четверть). Значит, мы выбираем положительное значение для $\sin t$. Следовательно, $\sin t=0,6$.

Шаг 5: Вычисление значения $\cos t$.

Теперь вычислим $\cos t$. Мы знаем, что:

$${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$$

Подставляем $\sin t=0,6$:

$${\cos }^{2}t=1-0,6^2=1-0,36=0,64$$

Тогда:

$$\cos t=-\sqrt{0,64}=-0,8$$

Знак минус выбирается, так как угол $t$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.

Шаг 6: Нахождение значения $\mathrm{tg}t$.

Теперь можем найти $\mathrm{tg}t$:

$$\mathrm{tg}t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{0,6}{-0,8}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$$

Ответ: $\mathrm{tg}t=-\frac{3}{4}$.

б) $\mathrm{ctg}t$, если ${\sin }^{2}t+2\cos t+0,56=0$ и $-\frac{7\pi }{2}<t<-3\pi$;

Шаг 1: Введение подстановки.

Подставим переменную $x=\cos t$. Тогда выражение для ${\sin }^{2}t$ будет:

$${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t=1-x^2$$

Шаг 2: Подставляем в исходное уравнение.

Исходное уравнение:

$${\sin }^{2}t+2\cos t+0,56=0$$

Подставляем ${\sin }^{2}t=1-x^2$:

$$1-x^2+2x+0,56=0$$

Приводим к общему виду:

$$-x^2+2x+1+0,56=0$$$$-x^2+2x+1,56=0$$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$:

$$x^2-2x-1,56=0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Теперь решим квадратное уравнение:

$$x^2-2x-1,56=0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1,56)=4+6,24=10,24$$

Корни уравнения находим по формуле:

$$x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{D}}{2\cdot 1}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{2-\sqrt{10,24}}{2}=\frac{2-3,2}{2}=\frac{-1,2}{2}=-0,6$$$$x_2=\frac{2+\sqrt{10,24}}{2}=\frac{2+3,2}{2}=\frac{5,2}{2}=2,6$$

Шаг 4: Выбираем подходящий корень.

Так как $t$ находится в интервале $-\frac{7\pi }{2}<t<-3\pi$, это соответствует третьей четверти, где косинус $\cos t$ отрицателен. Следовательно, выбираем $\cos t=-0,6$.

Шаг 5: Вычисление значения $\sin t$.

Используем основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$$

Подставляем $\cos t=-0,6$:

$${\sin }^{2}t=1-(-0,6{)}^2=1-0,36=0,64$$

Тогда:

$$\sin t=+\sqrt{0,64}=0,8$$

Шаг 6: Нахождение значения $\mathrm{ctg}t$.

Теперь находим $\mathrm{ctg}t$:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{-0,6}{0,8}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$$

Ответ: $\mathrm{ctg}t=-\frac{3}{4}$.