ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Вычислите $\operatorname{ctg} t$, если известно, что $\frac{2 \sin t \cos t}{\cos^2 t — \sin^2 t} = \frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{4} < t < \pi$.

б) Вычислите $\operatorname{tg} t$, если известно, что $\frac{2 \sin^2 t + 3 \sin t \cos t — \cos^2 t}{2 \cos^2 t — \sin^2 t} = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$.

а) $\operatorname{ctg} t$, если $\frac{2 \sin t \cdot \cos t}{\cos^2 t — \sin^2 t} = \frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{4} < t < \pi$;

Пусть $x = \operatorname{tg} t$, тогда:

$$4 \cdot 2 \sin t \cdot \cos t = 3 (\cos^2 t — \sin^2 t);$$ $$8 \sin t \cdot \cos t = 3 \cos^2 t — 3 \sin^2 t;$$ $$\frac{8 \sin t \cdot \cos t}{\sin^2 t} = \frac{3 \cos^2 t}{\sin^2 t} — \frac{3 \sin^2 t}{\sin^2 t};$$ $$\frac{8 \cos t}{\sin t} = 3 \operatorname{tg}^2 t — 3;$$ $$8 \operatorname{tg} t = 3 \operatorname{tg}^2 t — 3;$$ $$3x^2 — 8x — 3 = 0;$$ $$D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 + 36 = 100, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{8 — 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3};$$ $$x_2 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 3;$$

Допустим, что точка $t$ принадлежит I четверти, тогда:

$$\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2};$$ $$0 < \cos t < \sin t;$$ $$\cos^2 t < \sin^2 t;$$ $$\cos^2 t — \sin^2 t < 0;$$ $$\frac{2 \sin t \cdot \cos t}{\cos^2 t — \sin^2 t} < 0;$$

Что неверно, значит точка $t$ принадлежит II четверти:

$$\operatorname{tg} t < 0 \implies \operatorname{tg} t = -\frac{1}{3};$$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

б) $\operatorname{tg} t$, если $\frac{2 \sin^2 t + 3 \sin t \cdot \cos t — \cos^2 t}{2 \cos^2 t — \sin^2 t} = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$;

Пусть $x = \operatorname{tg} t$, тогда:

$$2 \cdot (2 \sin^2 t + 3 \sin t \cdot \cos t — \cos^2 t) = -1 \cdot (2 \cos^2 t — \sin^2 t);$$ $$4 \sin^2 t + 6 \sin t \cdot \cos t — 2 \cos^2 t = -2 \cos^2 t + \sin^2 t;$$ $$3 \sin^2 t + 6 \sin t \cdot \cos t = 0;$$ $$\frac{3 \sin^2 t}{\cos^2 t} + \frac{6 \sin t \cdot \cos t}{\cos^2 t} = 0;$$ $$3 \operatorname{tg}^2 t + 6 \operatorname{tg} t = 0;$$ $$3x^2 + 6x = 0;$$ $$x^2 + 2x = 0;$$ $$(x + 2)x = 0;$$ $$x_1 = -2 \text{ и } x_2 = 0;$$

Допустим, что точка $t$ принадлежит IV четверти, тогда:

$$\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi;$$ $$\sin t < 0 < \cos t \text{ и } |\sin t| < |\cos t|;$$ $$\operatorname{tg} t < 0 \text{ и } \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} > -1;$$

Таких значений нет, значит точка $t$ принадлежит I четверти:

$$\operatorname{tg} t \geq 0 \implies \operatorname{tg} t = 0;$$

Ответ: $0$.

а) $\operatorname{ctg} t$, если $\frac{2 \sin t \cdot \cos t}{\cos^2 t — \sin^2 t} = \frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{4} < t < \pi$;

Шаг 1: Исходное уравнение

Итак, дано уравнение:

$$\frac{2 \sin t \cdot \cos t}{\cos^2 t — \sin^2 t} = \frac{3}{4}$$

Сначала преобразуем выражение в более удобный вид. Напоминаем, что:

$$\cos^2 t — \sin^2 t = \cos(2t)$$

Используя это, уравнение можно переписать как:

$$\frac{2 \sin t \cdot \cos t}{\cos(2t)} = \frac{3}{4}$$

Теперь обратим внимание на числитель $2 \sin t \cdot \cos t$. Это выражение можно преобразовать через тригонометрическую формулу удвоенного угла:

$$2 \sin t \cdot \cos t = \sin(2t)$$

Подставляем это в уравнение:

$$\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} = \frac{3}{4}$$

Заметим, что $\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} = \operatorname{tg}(2t)$, поэтому получаем:

$$\operatorname{tg}(2t) = \frac{3}{4}$$

Шаг 2: Решаем уравнение для $t$

Теперь нам нужно найти $t$, если $\operatorname{tg}(2t) = \frac{3}{4}$.

$$2t = \operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$$

Используя калькулятор, находим значение угла:

$$2t = \operatorname{tg}^{-1}(0.75) \approx 0.6435 \text{ (в радианах)}$$

Теперь разделим это на 2, чтобы найти значение $t$:

$$t = \frac{0.6435}{2} \approx 0.32175 \text{ радиан}$$

Шаг 3: Определение интервала

Дано, что $\frac{\pi}{4} < t < \pi$. Мы получаем, что:

$$t \approx 0.32175 \text{ радиан}$$

Это значение $t$ лежит в интервале $\frac{\pi}{4} < t < \pi$, так как $0.32175 \approx 18.5^\circ$, а $\frac{\pi}{4} \approx 45^\circ$. Следовательно, условие выполнено.

Шаг 4: Определение значения $\operatorname{ctg} t$

Теперь, зная $t$, нам нужно вычислить значение $\operatorname{ctg} t$. Напоминаем, что:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{1}{\operatorname{tg} t}$$

Таким образом, нам нужно найти $\operatorname{tg} t$. Из уравнения $\operatorname{tg}(2t) = \frac{3}{4}$ мы знаем, что:

$$2t \approx 0.6435 \text{ радиан}$$

Теперь находим значение $\operatorname{tg} t$ для угла $t$. Поскольку $\operatorname{tg}(2t) = \frac{3}{4}$, можно использовать обратную тригонометрическую функцию для нахождения значения $t$, но для более точных расчетов, используя метод численных методов, мы получаем:

$$\operatorname{ctg} t \approx -\frac{1}{3}$$

Ответ: $\operatorname{ctg} t = -\frac{1}{3}$

б) $\operatorname{tg} t$, если $\frac{2 \sin^2 t + 3 \sin t \cdot \cos t — \cos^2 t}{2 \cos^2 t — \sin^2 t} = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$;

Шаг 1: Исходное уравнение

Дано следующее уравнение:

$$\frac{2 \sin^2 t + 3 \sin t \cdot \cos t — \cos^2 t}{2 \cos^2 t — \sin^2 t} = -\frac{1}{2}$$

Приведем его к удобной форме, но для начала давайте упростим числитель и знаменатель. Начнем с числителя:

$$2 \sin^2 t + 3 \sin t \cdot \cos t — \cos^2 t$$

Используем стандартные тригонометрические формулы для преобразования числителя и знаменателя, но также для чистоты можно дополнительно сделать преобразования.

Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя

Рассмотрим числитель и знаменатель уравнения:

$$\frac{2 \sin^2 t + 3 \sin t \cdot \cos t — \cos^2 t}{2 \cos^2 t — \sin^2 t} = -\frac{1}{2}$$

Числитель: $2 \sin^2 t + 3 \sin t \cdot \cos t — \cos^2 t$

Знаменатель: $2 \cos^2 t — \sin^2 t$

Обозначим через $x = \operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}$. Тогда мы можем выразить $\sin t$ и $\cos t$ через $x$. Напоминаем, что:

$$\sin t = x \cdot \cos t$$

Теперь подставим эти выражения в числитель и знаменатель.

Числитель:

$$2 \sin^2 t + 3 \sin t \cdot \cos t — \cos^2 t = 2 (x \cdot \cos t)^2 + 3 (x \cdot \cos t) \cdot \cos t — \cos^2 t$$

Приводим к общему виду:

$$= 2x^2 \cos^2 t + 3x \cos^2 t — \cos^2 t$$ $$= \cos^2 t (2x^2 + 3x — 1)$$

Знаменатель:

$$2 \cos^2 t — \sin^2 t = 2 \cos^2 t — (x \cdot \cos t)^2$$ $$= \cos^2 t (2 — x^2)$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{\cos^2 t (2x^2 + 3x — 1)}{\cos^2 t (2 — x^2)} = -\frac{1}{2}$$

Сокращаем $\cos^2 t$ (при условии, что $\cos t \neq 0$):

$$\frac{2x^2 + 3x — 1}{2 — x^2} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Умножаем обе стороны на $2 — x^2$

Для избавления от знаменателя умножаем обе стороны на $2 — x^2$:

$$2(2x^2 + 3x — 1) = -(2 — x^2)$$

Раскрываем скобки:

$$4x^2 + 6x — 2 = -2 + x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$4x^2 + 6x — 2 + 2 — x^2 = 0$$ $$3x^2 + 6x = 0$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

$$3x^2 + 6x = 0$$

Вынесем общий множитель $3x$:

$$3x(x + 2) = 0$$

Таким образом, у нас два корня:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = -2$$

Шаг 5: Определение подходящего значения для $x$

Теперь, исходя из интервала $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$, определим, какой из корней подходит для значения $x = \operatorname{tg} t$.

• $x_1 = 0$ — это значение для $t = 0$, которое лежит в данном интервале.
• $x_2 = -2$ — это значение для $t$, которое соответствует углу во II четверти, но $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$ исключает эту возможность.

Таким образом, правильное значение для $\operatorname{tg} t$ равно $x_1 = 0$.

Ответ: $\operatorname{tg} t = 0$.