ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 14.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\frac{1}{{\cos }^{2}t}-1$

б) $\frac{1-{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}$

в) $1-\frac{1}{{\sin }^{2}t}$

г) $\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}$

Упростить выражение:

а) $\frac{1}{\cos^2 t} — 1 = \frac{1 — \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \operatorname{tg}^2 t$;

Ответ: $\operatorname{tg}^2 t$.

б) $\frac{1 — \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = 1$;

Ответ: $1$.

в) $1 — \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t — 1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t — (\sin^2 t + \cos^2 t)}{\sin^2 t} = -\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = -\operatorname{ctg}^2 t$;

Ответ: $-\operatorname{ctg}^2 t$.

г) $\frac{1 — \cos^2 t}{1 — \sin^2 t} = \frac{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \cos^2 t}{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \operatorname{tg}^2 t$;

Ответ: $\operatorname{tg}^2 t$.

а) $\frac{1}{\cos^2 t} — 1$

Исходное выражение:

$$\frac{1}{\cos^2 t} — 1$$

Приведем к общему знаменателю:

Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае, знаменатели одинаковы, кроме $1$, который можно записать как $\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}$:

$$\frac{1}{\cos^2 t} — 1 = \frac{1}{\cos^2 t} — \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}.$$

Теперь мы можем выполнить вычитание:

$$= \frac{1 — \cos^2 t}{\cos^2 t}.$$

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

Теперь, используя тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, можем заменить $1 — \cos^2 t$ на $\sin^2 t$:

$$\frac{1 — \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}.$$

Применяем определение тангенса:

Мы знаем, что:

$$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \operatorname{tg}^2 t.$$

Ответ:

$$\operatorname{tg}^2 t.$$

б) $\frac{1 — \sin^2 t}{\cos^2 t}$

Исходное выражение:

$$\frac{1 — \sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

Снова воспользуемся тождеством $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$. Мы можем выразить $1 — \sin^2 t$ как $\cos^2 t$:

$$1 — \sin^2 t = \cos^2 t.$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{1 — \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}.$$

Упрощаем выражение:

Видим, что $\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = 1$.

Ответ:

$$1.$$

в) $1 — \frac{1}{\sin^2 t}$

Исходное выражение:

$$1 — \frac{1}{\sin^2 t}$$

Приводим к общему знаменателю:

Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае, знаменатели разные, и $1$ можно записать как $\frac{\sin^2 t}{\sin^2 t}$:

$$1 — \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} — \frac{1}{\sin^2 t}.$$

Теперь можем вычесть дроби:

$$= \frac{\sin^2 t — 1}{\sin^2 t}.$$

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

Применяем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, чтобы заменить $\sin^2 t — 1$ на $-\cos^2 t$:

$$\frac{\sin^2 t — 1}{\sin^2 t} = \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}.$$

Используем определение котангенса:

Напоминаем, что $\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \operatorname{ctg}^2 t$, поэтому:

$$\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t} = -\operatorname{ctg}^2 t.$$

Ответ:

$$-\operatorname{ctg}^2 t.$$

г) $\frac{1 — \cos^2 t}{1 — \sin^2 t}$

Исходное выражение:

$$\frac{1 — \cos^2 t}{1 — \sin^2 t}$$

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

Используем тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, чтобы выразить $1 — \cos^2 t$ как $\sin^2 t$, а $1 — \sin^2 t$ как $\cos^2 t$:

$$\frac{1 — \cos^2 t}{1 — \sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}.$$

Используем определение тангенса:

Мы знаем, что:

$$\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \operatorname{tg}^2 t.$$

Ответ:

$$\operatorname{tg}^2 t.$$

Итоговое решение:

а) $\frac{1}{\cos^2 t} — 1 = \operatorname{tg}^2 t$

б) $\frac{1 — \sin^2 t}{\cos^2 t} = 1$

в) $1 — \frac{1}{\sin^2 t} = -\operatorname{ctg}^2 t$

г) $\frac{1 — \cos^2 t}{1 — \sin^2 t} = \operatorname{tg}^2 t$